[论文解读] The Lifshits--Krein trace formula and operator Lipschitz functions

V. V. Peller|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用 8

一句话总结

该论文证明了，对于所有自伴算子 A 和 B 满足 A−B 属于迹类 S₁，Lifshits–Krein 迹公式成立当且仅当函数 f 是算子Lipschitz函数。证明使用了双重算子积分、Schur乘子和谱移函数，表明算子Lipschitz函数正是使迹公式在迹类扰动下普遍成立的函数类。

ABSTRACT

We describe the maximal class of functions $f$ on the real line, for which the Lifshitz--Krein trace formula $\operatorname{trace}(f(A)-f(B))=\int_{\Bbb R} f'(s)\boldsymbolξ(s)\,ds$ holds for arbitrary self-adjoint operators $A$ and $B$ with $A-B$ in the trace class $\boldsymbol{S}_1$. We prove that this class of functions coincide with the class of operator Lipschitz functions.

研究动机与目标

• 表征使 Lifshits–Krein 迹公式对所有满足 A−B ∈ S₁ 的自伴算子 A 和 B 成立的函数 f 的最大类。
• 解决 Krein 关于迹公式是否对所有Lipschitz函数成立的问题，证明其不成立。
• 确立算子Lipschitz函数是迹公式在迹类扰动下普遍成立的必要且充分条件。
• 通过双重算子积分，将迹公式与 Schur 乘子理论及 Haagerup 张量积理论联系起来。
• 证明对于算子Lipschitz函数 f，映射 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI)) 关于 t 连续。

提出的方法

• 定义差商 𝔻f(x,y) = (f(x)−f(y))/(x−y)（当 x≠y 时），以及 f′(x)（当 x=y 时），该表达式刻画了算子Lipschitz函数。
• 利用算子Lipschitz性与差商作为 S₁ 上 Schur 乘子的等价性。
• 应用双重算子积分理论，表达 f(Aₜ) 在 Hilbert–Schmidt 范数下的导数，其中 Aₜ = A + tK。
• 证明导数 Qₜ = d/dt [f(Aₜ)−f(A)] 属于 S₁，且在迹范数下一致有界。
• 使用 S₁ 中的 Bochner 积分，写出 f(A)−f(B) = −∫₀¹ Qₜ dt，从而得到 trace(f(A)−f(B)) = −∫₀¹ trace(Qₜ) dt。
• 应用定理 5.1，将 trace(Qₜ) 表示为 ∫ℝ f′(x) dνₜ(x)，其中 νₜ 是 K 关于 Aₜ 的谱投影的谱测度。
• 定义平均测度 ν = ∫₀¹ νₜ dt，并证明 ν = −ξ dm，其中 ξ 是谱移函数，从而导出迹公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些函数 f，Lifshits–Krein 迹公式对所有满足 A−B ∈ S₁ 的自伴算子 A, B 成立？
• RQ2 迹公式成立的函数类是否严格小于 Lipschitz 函数类？
• RQ3 算子Lipschitz性是否既是迹公式在迹类扰动下普遍成立的必要条件，也是充分条件？
• RQ4 对于所有此类 f，是否都能将 trace(f(A)−f(B)) 表示为 f′(s) 对谱移函数 ξ(s) 的积分？
• RQ5 映射 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI)) 的连续性与 f 的算子Lipschitz性有何关联？

主要发现

• Lifshits–Krein 迹公式对所有满足 A−B ∈ S₁ 的自伴算子 A, B 成立，当且仅当 f 是算子Lipschitz函数。
• 算子Lipschitz函数在 ℝ 上处处可微，尽管不一定是 C¹ 类，且包含如 x²sin(x⁻¹) 这类函数。
• 差商 𝔻f 是 S₁ 上的 Schur 乘子，当且仅当 f 是算子Lipschitz函数。
• 对于 f ∈ OL(ℝ)，迹公式 trace(f(A)−f(B)) = ∫ℝ f′(s)ξ(s) ds 对所有此类 A, B 普遍成立。
• 对于任意 f ∈ OL(ℝ)，映射 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI)) 在 ℝ 上连续，这是由于谱测度的弱-* 连续性所致。