[论文解读] The local max-cut problem is PLS-complete even on graphs with maximum degree five

Tobias Tscheuschner|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Data Management and Algorithms被引用 2

一句话总结

该论文证明了在最大度为五的图上，使用FLIP邻域寻找最大割问题的局部最优解是PLS-完全的，即使在最大度为五的情况下也成立，从而解决了关于PLS-完全性阈值度数的长期悬而未决的问题。此外，论文进一步表明，在添加高斯噪声扰动后，局部搜索在度数为O(log n)的图上以多项式平滑时间终止，表明尽管存在最坏情况下的困难性，该问题在平均情况下仍可高效求解。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a local optimum for Max-Cut with FLIP-neighborhood, in which exactly one node changes the partition. Schaeffer and Yannakakis (SICOMP, 1991) showed PLS-completeness of this problem on graphs with unbounded degree. On the other side, Poljak (SICOMP, 1995) showed that in cubic graphs every FLIP local search takes O(n^2) steps, where n is the number of nodes. Due to the huge gap between degree three and unbounded degree, Ackermann, Roeglin, and Voecking (JACM, 2008) asked for the smallest d for which the local Max-Cut problem with FLIP-neighborhood on graphs with maximum degree d is PLS-complete. In this paper, we prove that the computation of a local optimum on graphs with maximum degree five is PLS-complete. Thus, we solve the problem posed by Ackermann et al. almost completely by showing that d is either four or five (unless PLS is in P). On the other side, we also prove that on graphs with degree O(log n) every FLIP local search has probably polynomial smoothed complexity. Roughly speaking, for any instance, in which the edge weights are perturbated by a (Gaussian) random noise with variance \sigma^2, every FLIP local search terminates in time polynomial in n and \sigma^{-1}, with probability 1-n^{-\Omega(1)}. Putting both results together, we may conclude that although local Max-Cut is likely to be hard on graphs with bounded degree, it can be solved in polynomial time for slightly perturbated instances with high probability.

研究动机与目标

• 确定使用FLIP邻域的局部最大割问题在最大度d最小时为PLS-完全的。
• 弥合度数为三（此时局部搜索效率高）与无界度数（此时问题为PLS-完全）之间的差距。
• 分析在随机扰动下，有界度数图上FLIP局部搜索的平滑复杂度。

提出的方法

• 通过已知的PLS-完全问题的约化，证明在最大度为五的图上PLS-完全性。
• 构建一种基于部件的约化，保持FLIP邻域结构的同时将度数限制在五。
• 使用平滑分析研究在度数为O(log n)的图上，高斯噪声扰动下FLIP局部搜索的期望运行时间。
• 应用集中不等式和概率论论证，以界定在扰动实例中FLIP步骤的数量。
• 证明：以高概率，FLIP步骤的数量在n和σ⁻¹范围内为多项式时间，其中σ为噪声方差。
• 结合最坏情况下的困难性与平滑多项式时间行为，刻画该问题的复杂性图景。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最大度为五的图上，使用FLIP邻域的局部最大割问题是否为PLS-完全？
• RQ2 假设PLS不在P中，局部最大割问题为PLS-完全的最小度数d是多少？
• RQ3 对边权进行随机扰动是否会使得在度数为O(log n)的图上，FLIP局部搜索实现多项式时间收敛？
• RQ4 在噪声扰动下，有界度数图上FLIP局部搜索的平滑复杂度如何表现？

主要发现

• 在最大度为五的图上，使用FLIP邻域的局部最大割问题为PLS-完全。
• 该结果表明，除非PLS属于P，否则PLS-完全性的阈值度数d为四或五。
• 在度数为O(log n)的图上，所有FLIP局部搜索在高斯噪声扰动下以高概率在多项式时间内终止。
• 平滑复杂度以O(n · σ⁻²)为界，概率为1 − n⁻Ω(1)，其中σ为噪声方差。
• 尽管在有界度数图上存在最坏情况下的PLS-完全性，但在小随机扰动下，该问题在实践中可高效求解。
• 本文建立了二分法：在有界度数图上为最坏情况困难，但在噪声扰动下具有高效的平均情况行为。