[论文解读] The long-time behaviour of a stochastic SIR epidemic model with distributed delay and multidimensional Lévy jumps

Driss Kiouach, Yassine Sabbar|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 59被引用 11

一句话总结

本文提出了一种带有分布延迟和多维Lévy跳跃的随机SIR流行病模型，以分析长期疾病动态。通过使用伊tô-Lévy随机微分方程和先进的分析技术，建立了疾病灭绝和平均持续性的充分条件，表明Lévy跳跃强度和噪声水平在决定疾病是消亡还是长期持续方面起着关键作用。

ABSTRACT

Recently, emerging epidemics like COVID-19 and its variants require predictive mathematical models to implement suitable responses in order to limit their negative and profound impact on society. The SIR (Susceptible-InfectedRemoved) system is a straightforward mathematical formulation to model the dissemination of many infectious diseases. The present paper reports novel theoretical and analytical results for a perturbed version of an SIR model with Gamma-distributed delay. Notably, our epidemic model is represented by Itô-L'evy stochastic differential equations in order to simulate sudden and unexpected external phenomena. By using some new and ameliorated mathematical approaches, we study the long-run characteristics of the perturbed delayed model. Within this scope, we give sufficient conditions for two interesting asymptotic proprieties: extinction and persistence of the epidemic. One of the most interesting results is that the dynamics of the stochastic model are closely related to the intensities of white noises and L'evy jumps, which can give us a good insight into the evolution of the epidemic in some unexpected situations. Our work complements the results of some previous investigations and provides a new approach to predict and analyze the dynamic behavior of epidemics with distributed delay. For illustrative purposes, numerical examples are presented for checking the theoretical study

研究动机与目标

• 通过引入分布延迟和Lévy跳跃，构建更贴近现实的流行病模型，以反映生物变异性及突发环境冲击。
• 研究在随机扰动下，受扰动SIR模型的长期行为，特别关注疾病灭绝与持续性。
• 通过引入Lévy跳跃，扩展以往的确定性模型和扩散模型，更好地捕捉疾病传播中罕见但影响重大的事件。
• 提出新的分析技术，避免依赖未知的平稳分布，从而提高结果的鲁棒性和最优性。
• 为噪声强度和跳跃特性如何影响流行病结局提供实际洞见，支持公共卫生决策制定。

提出的方法

• 利用线性链技术将带有伽马分布延迟的SIR模型转化为等价系统，用辅助变量 $\mathcal{D}(t)$ 替代分布延迟。
• 采用伊tô-Lévy随机微分方程对系统建模，以同时纳入高斯白噪声和Lévy跳跃，描述突发且大振幅的扰动。
• 应用新颖的数学技术，涉及过程 $\psi(s)$ 及其平方的时间平均值，分析渐近行为，而无需显式依赖平稳分布。
• 在未消除的形式下使用不等式 $\ln(1+x) - x \leq 0$（当 $x > -1$ 时），以获得更紧的边界和更优的估计。
• 引入新表达式 $\chi_{1,p}$，以增强灭绝与持续性准则中分析边界的最优性和精确性。
• 通过特定参数集的数值模拟验证理论结果，并展示Lévy跳跃对疾病动态的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带有分布延迟和Lévy跳跃的随机SIR模型表现出疾病灭绝？
• RQ2 在存在Lévy跳跃和白噪声的情况下，感染种群平均持续性的充分条件是什么？
• RQ3 白噪声和Lévy跳跃的强度如何影响流行病的长期行为？
• RQ4 与仅由扩散驱动或确定性系统驱动的模型相比，Lévy跳跃在多大程度上改变了渐近动力学？
• RQ5 该分析框架能否推广至其他带有Lévy噪声的随机流行病模型？

主要发现

• 当噪声强度和Lévy跳跃强度相对于传播率和恢复率足够大时，流行病几乎必然灭绝。
• 当噪声和跳跃强度足够小时，感染种群可实现平均持续性，其阈值取决于模型参数。
• 数值模拟表明，即使确定性模型和仅含扩散扰动的模型预测持续性，Lévy跳跃仍可能驱动系统走向灭绝。
• Lévy跳跃的强度对疾病流行度有显著负面影响，表明罕见但极端的事件可能抑制流行病。
• 所提方法避免了对过程 $\psi$ 的显式平稳分布 $\pi^\star(\cdot)$ 的依赖，从而实现更鲁棒和更具普适性的结果。
• 在持续性条件下，带有Lévy跳跃的模型在感染种群路径上表现出比仅含扩散的模型更大的变异性。