[论文解读] The lower bound of the error estimate in the L2 norm for the Adini element of the biharmonic equation

Jun Hu, Zhong‐Ci Shi|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文建立了双调和方程阿丁非协调有限元方法的 $L^2$ 范数误差估计的下界，证明其收敛速率不可能超过 $\mathcal{O}(h^2)$，从而严格证实了拉斯考克斯与莱桑特长期以来的猜想：$L^2$ 与 $H^1$ 收敛速率无法超越能量范数速率。分析依赖于一个改进的插值算子以及 $(-f, e)_{L^2}$ 的恒等式，该恒等式可分离出主导误差项，进而在 $H^4$ 正则性条件下推导出下界。

ABSTRACT

This paper is devoted to the $L^2$ norm error estimate of the Adini element for the biharmonic equation. Surprisingly, a lower bound is established which proves that the $ L^2$ norm convergence rate can not be higher than that in the energy norm. This proves the conjecture of [Lascaux and Lesaint, Some nonconforming finite elements for the plate bending problem, RAIRO Anal. Numer. 9 (1975), pp. 9--53.] that the convergence rates in both $L^2$ and $H^1$ norms can not be higher than that in the energy norm for this element.

研究动机与目标

• 解决双调和问题中阿丁有限元方法 $L^2$ 范数误差估计这一长期悬而未决的难题。
• 严格证明拉斯考克斯与莱桑特（1975）的猜想：$L^2$ 与 $H^1$ 收敛速率无法超过能量范数速率。
• 建立 $L^2$ 误差估计的下界，表明在一般情况下更高阶收敛不可实现。

提出的方法

• 通过一种新颖的展开方法，推导出典范插值算子 $\Pi_h$ 的改进性质，降低了对正则性的要求。
• 建立 $(-f, w - w_h)_{L^2}$ 的关键恒等式，将主导误差项与高阶贡献分离开来。
• 结合改进的插值估计，利用该恒等式对 $L^2$ 误差进行下界估计。
• 应用庞加莱不等式，将 $L^2$ 与 $H^1$ 误差界联系起来，表明两者均至多为 $\mathcal{O}(h^2)$。
• 依赖于精确解的 $H^4$ 正则性，弱化了早期工作中使用的 $H^5$ 假设。
• 证明离散 $L^2$ 误差的下界由与 $h^2 \| \partial^3 w / \partial x^2 \partial y \|_{L^2}$ 成比例的项控制，当右端项 $f$ 非平凡时该量保持非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿丁元的 $L^2$ 范数误差估计是否可能超过 $\mathcal{O}(h^2)$，还是此即最优收敛速率？
• RQ2 拉斯考克斯与莱桑特（1975）的猜想——$L^2$ 与 $H^1$ 收敛速率无法超过能量范数速率——在数学上是否成立？
• RQ3 阿丁元的何种结构性质导致尽管具有二阶一致性和逼近性，却仍无法实现更高阶的 $L^2$ 收敛？

主要发现

• 阿丁元的 $L^2$ 范数误差估计具有 $\mathcal{O}(h^2)$ 的下界，意味着收敛速率无法进一步提升。
• $H^1$ 范数误差估计同样至多为 $\mathcal{O}(h^2)$，这由庞加莱不等式与 $L^2$ 下界所蕴含。
• 典范插值算子 $\Pi_h$ 满足改进的误差估计 $|v - \Pi_h v|_{H^1} \leq C h^2 |v|_{H^4}$，这对分析至关重要。
• 恒等式 $(-f, w - w_h)_{L^2} = \text{主导项} + \text{高阶项}$ 实现了主导误差贡献的分离。
• 误差恒等式中的主导项与 $h^2 \| \partial^3 w / \partial x^2 \partial y \|_{L^2}$ 成比例，当 $f \not\equiv 0$ 时该量非零，从而确保下界非平凡。
• 分析仅需解的 $H^4$ 正则性，优于早期类似工作中所采用的 $H^5$ 假设。