[论文解读] The M-Wright function in time-fractional diffusion processes: a tutorial survey

Francesco Mainardi, Antonio Mura+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2010

Fractional Differential Equations Solutions被引用 45

一句话总结

本文全面介绍了M-Wright函数，确立其在时间分数阶扩散过程中的核心作用。研究表明，M-Wright函数将自相似且增量平稳的随机过程中的高斯密度进行了推广，作为时间导数阶数β ∈ (0,1]的分数阶扩散方程的基本解，并能够对慢扩散和快扩散异常扩散进行建模。

ABSTRACT

In the present review we survey the properties of a transcendental function of the Wright type, nowadays known as M-Wright function, entering as a probability density in a relevant class of self-similar stochastic processes that we generally refer to as time-fractional diffusion processes. Indeed, the master equations governing these processes generalize the standard diffusion equation by means of time-integral operators interpreted as derivatives of fractional order. When these generalized diffusion processes are properly characterized with stationary increments, the M-Wright function is shown to play the same key role as the Gaussian density in the standard and fractional Brownian motions. Furthermore, these processes provide stochastic models suitable for describing phenomena of anomalous diffusion of both slow and fast type.

研究动机与目标

• 确立M-Wright函数作为时间分数阶扩散过程中关键概率密度的角色。
• 阐明M-Wright函数在自相似且增量平稳过程的高斯密度推广中的作用。
• 提供一个统一框架，利用分数阶时间导数对异常扩散（包括亚扩散和超扩散）进行建模。
• 推导并分析时间分数阶扩散方程的基本解，其表达形式为M-Wright函数。
• 将M-Wright函数与时间分数阶漂移过程中的子序数及时空分数阶扩散联系起来。

提出的方法

• 通过拉普拉斯变换和傅里叶变换，推导出时间分数阶扩散方程的解为M-Wright函数。
• 利用广义Wright函数及其特例M-Wright函数，通过级数和积分表示进行定义。
• 应用Mellin变换与拉普拉斯变换对，推导M-Wright函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换。
• 确立时间分数阶扩散方程的基本解为缩放后的M-Wright函数：$ \mathcal{G}_{\beta}(x,t) = \frac{1}{2} t^{-\beta/2} M_{\beta/2}\left( \frac{|x|}{t^{\beta/2}} \right) $。
• 分析时间分数阶漂移方程，并推导其基本解为 $ \mathcal{G}_{\beta}^{*}(x,t) = t^{-\beta} M_{\beta}\left( \frac{x}{t^{\beta}} \right) $（当 $ x > 0 $ 时）。
• 将M-Wright函数与稳定分布及子序数联系起来，特别是通过其与指数β的单边极值稳定密度的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分数阶扩散背景下，M-Wright函数如何推广高斯密度？
• RQ2 M-Wright函数在时间分数阶扩散方程（阶数β ∈ (0,1]）的基本解中起什么作用？
• RQ3 自相似且增量平稳的随机过程如何与M-Wright函数及异常扩散相关联？
• RQ4 M-Wright函数在时间分数阶漂移过程中以何种方式作为子序数出现？
• RQ5 M-Wright函数的拉普拉斯变换与傅里叶变换表示是什么？它们如何用于推导基本解？

主要发现

• M-Wright函数 $ M_{\beta/2}(z) $ 是时间分数阶扩散方程的基本解，当β = 1时推广了高斯分布。
• 基本解 $ \mathcal{G}_{\beta}(x,t) = \frac{1}{2} t^{-\beta/2} M_{\beta/2}\left( \frac{|x|}{t^{\beta/2}} \right) $ 展现出缩放指数为 $ \beta/2 $ 的自相似性。
• 对于时间分数阶漂移方程，基本解为 $ \mathcal{G}_{\beta}^{*}(x,t) = t^{-\beta} M_{\beta}\left( \frac{x}{t^{\beta}} \right) $（当 $ x > 0 $ 时），当β = 1时退化为 $ \delta(x - t) $。
• M-Wright函数与指数β的稳定密度相关联，满足 $ \mathcal{G}_{\beta}^{*}(x,t) = \frac{t}{\beta} x^{-1-1/\beta} L_{\beta}^{-\beta}(t x^{-1/\beta}) $，证实其作为子序数的角色。
• M-Wright函数的拉普拉斯变换满足 $ \mathcal{L}\{ M_{\beta}(z) \} = s^{\beta-1} e^{-s^{\beta}} $，这对于求解分数阶微分方程至关重要。
• 广义灰色布朗运动（ggBm）由其多点联合分布唯一定义，且包含标准布朗运动和分数阶布朗运动作为特例，其核心密度即为M-Wright函数。