[论文解读] The Mandelstam-Terning Line Integral in Unparticle Physics -- A Reply to Galloway, Martin and Stancato

Alexis Licht|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文表明，用于规范不变地耦合未定域子与规范场的Mandelstam-Terning路径有序威尔逊线在数学上不一致，因为它意味着规范场强为零，从而使规范场成为纯规范场。尽管如此，通过人为地将纯规范项替换为物理规范场，该方法仍能产生物理上合理的顶点，本质上是通过两个数学错误相互抵消，从而在整数未定域子维度下得到正确的最小耦合结果。

ABSTRACT

We show that the path ordered Wilson line integral used in 0802.0313 to make a nonlocal action gauge invariant is mathematically inconsistent. We also show that it can lead to reasonable gauge field vertexes by the use of a second mathematically unjustifiable procedure.

研究动机与目标

• 研究用于规范不变地耦合未定域子与规范场的路径有序威尔逊线的数学一致性。
• 评估该方法产生的顶点是否满足最小耦合原理。
• 阐明为何一种数学上有缺陷的程序在未定域子物理中仍能产生物理上合理的物理结果。
• 揭示在对威尔逊线算符假设Mandelstam条件时所存在的根本不一致性。

提出的方法

• 推导在Mandelstam条件（3）下威尔逊线的二阶导数，该条件将威尔逊线的导数与端点处的规范场联系起来。
• 应用二阶导数的可交换性，表明场强张量必须为零，意味着规范场是纯规范场。
• 利用规范变换理论，显式构造一个幺正变换，将规范场设为零，从而确认场强张量为零。
• 分析用于从未定域子作用量中提取顶点的泛函导数程序，揭示其依赖于人为地将纯规范项替换为物理规范场分量。
• 证明通过人为地将纯规范项替换为物理$A_\nu$场，该方法能够恢复正确的顶点，特别是在整数未定域子维度下。
• 将结果与最小耦合原理进行比较，表明仅在应用该替换程序时才达成一致，尽管其数学基础存在不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 威尔逊线的Mandelstam条件是否导致一致的规范场构型？
• RQ2 尽管存在数学缺陷，威尔逊线形式能否产生物理上有效的未定域子-规范场顶点？
• RQ3 为何威尔逊线方法在整数未定域子维度下能产生与最小耦合一致的结果？
• RQ4 在施加Mandelstam条件时，路径有序威尔逊线的数学不一致性根源何在？
• RQ5 为何纯规范场能通过泛函导数程序产生物理顶点？

主要发现

• Mandelstam条件（3）对威尔逊线的施加意味着场强张量$F_{\nu\beta}$恒为零，即规范场是纯规范场，物理上等价于零。
• 威尔逊线算符$W_P$仅在规范场规范等价于零时才满足Mandelstam条件，从而使规范场在标准意义上成为非物理的。
• 尽管如此，将威尔逊线引入未定域子作用量的方法仍能产生与整数未定域子维度下最小耦合规定一致的顶点。
• 该方法的成功源于一种人为替换：在泛函微分之前，将威尔逊线中的纯规范项替换为物理$A_\nu$场，这一做法在数学上缺乏依据，但能得出正确结果。
• 泛函导数程序无法一致地应用于纯规范场，因为$\partial_\alpha \Lambda^a$对$\Lambda^b$的导数涉及狄拉克函数的导数，无法如推导中假设的那样转化为克罗内克符号。
• 本文结论认为，该方法之所以有效，并非因其数学正确性，而是由于两个错误的相互抵消：一个来自不一致的威尔逊线，另一个来自对纯规范项的不合理替换。