[论文解读] The Mathematical Parallels Between Packet Switching and Information Transmission

Tony T. Lee|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Interconnection Networks and Systems参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文通过表明通信信道中的噪声与分组交换机中的竞争具有相似的随机行为，建立了分组交换与数字传输之间的数学类比。它展示了信息论中的纠错、信道编码和源编码技术在交换网络的调度、路由和负载均衡中具有直接对应关系，关键成果包括Clos网络中损失的指数级减少，以及基于泊松分布的开关负载信噪比模型。

ABSTRACT

All communication networks comprise of transmission systems and switching systems, even though they are usually treated as two separate issues. Communication channels are generally disturbed by noise from various sources. In circuit switched networks, reliable communication requires the error-tolerant transmission of bits over noisy channels. In packet switched networks, however, not only can bits be corrupted with noise, but resources along connection paths are also subject to contention. Thus, quality of service (QoS) is determined by buffer delays and packet losses. The theme of this paper is to show that transmission noise and packet contention actually have similar characteristics and can be tamed by comparable means to achieve reliable communication, and a number of analogies between switching and transmission are identified. The sampling theorem of bandlimited signals provides the cornerstone of digital communication and signal processing. Recently, the Birkhoff-von Neumann decomposition of traffic matrices has been widely applied to packet switches. With respect to the complexity reduction of packet switching, we show that the decomposition of a doubly stochastic traffic matrix plays a similar role to that of the sampling theorem in digital transmission. We conclude that packet switching systems are governed by mathematical laws that are similar to those of digital transmission systems as envisioned by Shannon in his seminal 1948 paper, A Mathematical Theory of Communication.

研究动机与目标

• 统一通信网络中传输噪声与分组竞争的数学处理方法。
• 识别信息论与交换网络设计在结构与概率上的类比关系。
• 将香农理论原则（如信道编码与源编码）扩展至分组交换与资源分配领域。
• 利用熵与统计力学为现代分组交换网络中的服务质量（QoS）提供理论基础。
• 证明交换机中的调度、缓冲与路由可使用与数字传输相同的数学框架进行分析。

提出的方法

• 提出一种基于玻尔兹曼模型分组分布的分组交换机伪信噪比（PSNR）。
• 将交换机的承载负载建模为泊松分布的随机变量，其输出忙闲概率由泊松分布导出。
• 应用中心极限定理，证明在大型N×N交叉开关中，信号与噪声功率呈正态分布。
• 将Clos网络中的后向重定向路由与二元对称信道中的随机编码进行类比，表明损失概率呈指数下降。
• 使用霍尔条件与扩展图对非阻塞路由分配进行建模，类比于纠错码。
• 将Sipser-Spielman译码算法扩展至Benes网络的路由分配，说明编码译码与路径选择之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在概率行为方面，传输噪声与分组竞争在数学上如何比较？
• RQ2 信息论中的信道编码与源编码原则能否应用于分组交换网络中的资源分配与调度？
• RQ3 交换机中缓冲延迟、丢包与负载之间的数学关系是什么？如何类比于信噪比进行建模？
• RQ4 Clos网络中的后向重定向路由与二元对称信道中的随机编码在错误（丢包）概率方面有何比较？
• RQ5 Birkhoff–von Neumann交通矩阵分解在多大程度上可被视为数字传输中抽样定理的交换类比？

主要发现

• 分组交换机的承载负载可建模为基于玻尔兹曼分布的伪信噪比（PSNR），其输出忙闲概率为1−e−ρ。
• Clos网络中的后向重定向路由导致损失概率呈指数下降，与二元对称信道在随机编码下的指数错误衰减相一致。
• Clos网络中随机路由的损失概率在数学上等价于二元对称信道的错误概率，支持有噪信道编码定理。
• 交换机中的调度受熵不等式约束，如同源编码一样，表明其在平滑性约束上存在根本相似性。
• 双随机交通矩阵的Birkhoff–von Neumann分解在交换复杂度降低中的作用，类比于数字传输中的抽样定理。
• 在大型N×N交叉开关中，信号与噪声功率呈正态分布，其均值与方差由中心极限定理导出。