[论文解读] The Maximum Likelihood Degree of Linear Spaces of Symmetric Matrices

Carlos Améndola, Lukas Gustafsson+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 4

一句话总结

本文計算多變量常態模型中對稱矩陣線性空間的最大似然度（ML degree），引入兩種新公式：一種基於直線幾何，另一種使用交集理論中的Segre類。本文完整描述了餘維一模型的ML degree，並對三維情形下的所有ML degree進行完整分類，解決了ML degree為零的退化情形。

ABSTRACT

We study multivariate Gaussian models that are described by linear conditions on the concentration matrix. We compute the maximum likelihood (ML) degrees of these models. That is, we count the critical points of the likelihood function over a linear space of symmetric matrices. We obtain new formulae for the ML degree, one via Schubert calculus, and another using Segre classes from intersection theory. We settle the case of codimension one models, and characterize the degenerate case when the ML degree is zero.

研究动机与目标

• 計算多變量常態分配中線性濃度模型的最大似然度。
• 利用直線幾何與交集理論中的Segre類，提出ML degree的新公式。
• 完整描述餘維一線性空間的ML degree。
• 根據其ML degree對所有3×3對稱矩陣的線性空間進行分類。
• 識別並描述ML degree為零的退化情形。

提出的方法

• 定義互為倒數的代數集 L⁻¹ 為線性空間 L ⊆ Sn 中可逆矩陣之逆矩陣的Zariski閉包。
• 透過交集 L⁻¹ ∩ (L⊥ + S) 數算對數似然函數的臨界點，其中 S 為一般矩陣。
• 應用直線幾何，將ML degree表示為投影 πL⊥ 限制在 L⁻¹ 上的次數。
• 運用交集理論中的Segre類，推導ML degree的第二種公式。
• 使用Terracini引理與一般纖維分析，確保橫截性與無重複交點。
• 透過幾何條件描述ML degree為零的情形，包括 L⁻¹ 與 L⊥ 位於同一超平面內，或在某種擾動下行列式不變。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常態模型中，對稱矩陣線性空間的最大似然度為何？
• RQ2 如何利用直線幾何與Segre類計算ML degree？
• RQ3 對於餘維一的線性空間，其ML degree為何？其與正交補空間矩陣的關係為何？
• RQ4 線性空間具有ML degree為零的必要與充分條件為何？
• RQ5 哪些3×3對稱線性空間具有ML degree為零？它們如何分類？

主要发现

• 對於餘維一模型，ML degree 等於正交補空間矩陣的秩減一。
• ML degree 可由交集理論中的Segre類公式給出。
• 線性空間的ML degree為零，當且僅當其互為倒數的代數集 L⁻¹ 與正交補空間 L⊥ 位於同一超平面內。
• 當且僅當 L 中一般元素的行列式在某特定方向的擾動下不變時，ML degree 為零，此情形由引理6.5明確定義。
• 在 S³ 中，恰好有五種共軛類的線性子空間具有ML degree為零，其中包括一種特殊情形：L⁻¹ 與 L⊥ 不位於同一超平面內，但其張成的集合為 L⁻¹。
• 在 S³ 中，唯一具有ML degree為零的4維子空間（在共軛下）具有Segre符號 [2;;1]，對應於 L⊥ 中的一個奇異線性組合。