[论文解读] The Metric on the Space of Yang-Mills Configurations

Peter Orland|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文在 2+1 和 3+1 维的杨-米尔斯构型空间上构建了一个黎曼度量，证明其为完备度量空间。文章发展了具有奇异度量张量的流形的微分几何工具，计算了黎曼曲率张量，并修正了杨-米尔斯波函数上的拉普拉斯算符形式，表明某些长波长的胶子构型即使具有较低的势能，也可能与纯规范构型相距甚远——这为量子理论中的质量间隙提供了一种机制。

ABSTRACT

A distance function on the set of physical equivalence classes of Yang-Mills configurations considered by Feynman and by Atiyah, Hitchin and Singer is studied for both the $2+1$ and $3+1$-dimensional Hamiltonians. This set equipped with this distance function is a metric space, and in fact a Riemannian manifold as Singer observed. Furthermore, this manifold is complete. Gauge configurations can be used to parametrize the manifold. The metric tensor without gauge fixing has zero eigenvalues, but is free of ambiguities on the entire manifold. In $2+1$ dimensions the problem of finding the distance from any configuration to a pure gauge configuration is an integrable system of two-dimensional differential equations. A calculus of manifolds with singular metric tensors is developed and the Riemann curvature is calculated using this calculus. The Laplacian on Yang-Mills wave functionals has a slightly different form from that claimed earlier. In $3+1$-dimensions there are field configurations an arbitrarily large distance from a pure gauge configuration with arbitrarily small potential energy. These configurations resemble long-wavelength gluons. Reasons why there nevertheless can be a mass gap in the quantum theory are proposed.

研究动机与目标

• 在物理杨-米尔斯构型空间上定义并分析一个黎曼度量，将规范等价类视为点。
• 证明该空间即使在规范对称性导致度量张量奇异的情况下，仍为完备的黎曼流形。
• 为具有退化度量张量的流形发展一套微分几何工具，以计算曲率等几何不变量。
• 研究杨-米尔斯理论中的距离结构，特别是物理构型与纯规范场之间的分离。
• 探讨大距离、低能量构型对量子理论中质量间隙存在的影响。

提出的方法

• 在规范构型空间关于规范变换的商空间上定义度量，使用连接空间上的自然内积。
• 本文构建了物理构型空间上的黎曼结构，证明其尽管度量张量存在零特征值，仍是完备的。
• 发展了一套适用于具有奇异度量张量的流形的专用微分几何工具，以在不进行规范固定的情况下计算黎曼曲率张量与拉普拉斯算符。
• 在 2+1 维中，证明任一构型到纯规范构型的距离满足一个可积的二维偏微分方程系统。
• 在 3+1 维中，分析揭示了势能极低但与纯规范场相距极远的场构型，其特征类似于长波长胶子。
• 利用新度量结构重新推导了杨-米尔斯波函数上的拉普拉斯算符，纠正了文献中先前的错误主张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自然度量下，物理杨-米尔斯构型空间的几何结构是什么？
• RQ2 尽管存在规范冗余，能否为规范等价的杨-米尔斯连接空间赋予一个完备的黎曼度量？
• RQ3 在由规范不变性导致的退化度量张量下，黎曼曲率张量的行为如何？
• RQ4 在存在此类度量的情况下，作用于杨-米尔斯波函数上的拉普拉斯算符的正确形式是什么？
• RQ5 势能较低的构型是否可能与纯规范构型相距甚远？这对量子质量间隙的存在意味着什么？

主要发现

• 在自然度量下，物理杨-米尔斯构型空间即使由于规范不变性导致度量张量存在零特征值，仍为完备的黎曼流形。
• 在 2+1 维中，任一构型到纯规范构型的距离由一个可积的二维微分方程系统所控制。
• 发展了一套新的适用于具有奇异度量张量的流形的微分几何工具，使在该类空间中计算黎曼曲率张量成为可能。
• 由于构型空间的正确几何结构，杨-米尔斯波函数上的拉普拉斯算符形式与先前文献中的主张不同。
• 在 3+1 维中，存在势能极低但与纯规范构型相距极远的场构型，暗示了量子理论中质量间隙的可能机制。
• 这些长波长胶子构型虽然能量低廉，但在几何上却相距甚远，表明质量间隙可能源于构型空间的非平凡拓扑与几何结构。