[论文解读] The minimum ABS index of trees with given number of pendent vertices

Venkatesan Maitreyi, Suresh Elumalai+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Graph theory and applications被引用 7

一句话总结

本文确定了具有给定数量悬挂顶点的树的最小原子-键和连通性（ABS）指数，证明极值树结构为一种特定类型的$(k,3)$-正则树，其悬挂边上附加了额外顶点。当所有悬挂顶点均与度为2的顶点相邻时，达到最小ABS指数，其精确值为$ k\bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\bigr) + (n-3k+2)\frac{1}{\sqrt{2}} + (k-3)\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $。

ABSTRACT

The recently developed atom-bond sum-connection (ABS) index is a variation of the well-studied graph-based molecular descriptors connectivity (Randic), atom-bond connectivity, and sum-connectivity indices.We present the minimum ABS index of trees with a given number of pendent vertices in this paper, which provides a solution to the problem proposed by A. Ali, I. Gutman and I. Redzepovic, Atom-Bond Sum-Connectivity Index of Unicyclic Graphs and Some Applications, Electron. J. Math.(2023) 1-7

研究动机与目标

• 解决Ali、Gutman和Redzepović最近提出的问题，即在固定悬挂顶点数的树中最小化ABS指数。
• 刻画在该约束下实现最小ABS指数的树的结构。
• 以顶点数$n$和悬挂顶点数$k$表示，推导最小ABS指数值的闭式表达式。
• 通过证明相同极值结构在度数约束下也适用于化学树，将结果推广至化学树。
• 证明最小值出现在所有悬挂顶点均与度为2的顶点相邻，且非悬挂顶点度数为3时。

提出的方法

• 使用图论变换（变换I和II）修改树以减小ABS指数，证明非极值配置无法产生更小的值。
• 应用极值图论技术分析ABS指数公式中的度分布和边贡献：$ ABS(G) = ∑_{uv∈E(G)} \sqrt{1 - \frac{2}{d_u + d_v}} $。
• 通过反证法，假设存在一个最大度数≥4的极小指数树，然后证明其可被转化为ABS指数严格更小的树。
• 分析悬挂路径和度序列，证明在极值树中，所有悬挂顶点必须与度为2的顶点相邻，且非悬挂顶点度数为3。
• 通过计算与悬挂顶点、度为2的顶点和度为3的顶点相连的边的贡献，推导出精确的最小值。
• 使用不等式和微积分验证所推导表达式确实为最小值，特别是通过分析函数$ \psi(r) $，其中$ r = d(u_{t-1}) \in \{6,7\} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有$n$个顶点且恰好有$k$个悬挂顶点的所有树中，ABS指数的最小值是多少？
• RQ2 为在该约束下实现最小ABS指数，树必须具备哪些结构特性？
• RQ3 最小ABS指数能否在化学树（最大度数≤4）中实现，且其极值结构是否与一般树相同？
• RQ4 在边收缩和顶点度数重新分配变换下，ABS指数如何变化？
• RQ5 极值树是否唯一，其结构能否被完全刻画？

主要发现

• 对于具有$n$个顶点和$k$个悬挂顶点的树，当所有悬挂顶点均与度为2的顶点相邻，且所有非悬挂顶点度数为3时，达到最小ABS指数。
• 极值树结构为具有$2k-2$个顶点的$(k,3)$-正则树，通过在悬挂边上附加$n - 2k + 2$个额外顶点形成，构成$ \mathcal{T}^{*}_{n,k} $中的树。
• 最小ABS指数值为$ k\bigl(\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}}\bigr) + (n - 3k + 2)\sqrt{\frac{1}{2}} + (k - 3)\sqrt{\frac{2}{3}} $，适用于$ 3 \leq k \leq \left\lfloor \frac{n+2}{3} \right\rfloor $。
• 任何极值树的最大度数恰好为3，且不存在最大度数≥4的树能实现最小ABS指数。
• 化学树$ \mathcal{CT}_{n,k} $的最小ABS指数与一般树$ \mathcal{T}_{n,k} $相同，且由相同的极值结构实现。
• 证明确认，任何偏离极值结构的情况——如存在度数≥4的顶点，或悬挂顶点与度为3的顶点相邻——均会导致ABS指数严格增大。