[论文解读] The minimum measurable eccentricity from gravitational waves of LISA massive black hole binaries

Mudit Garg, Shubhanshu Tiwari+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

Pulsars and Gravitational Waves Research被引用 5

一句话总结

本研究利用泰勒F2Ecc后牛顿框架建模的引力波波形，确定了LISA可探测的极端质量比双黑洞（MBHB）系统的最小可测量轨道偏心率。结果表明，对于 $ 10^{4.5}~{\rm M}_\odot $ 系统，LISA 可测量的偏心率低至 $ e_{\text{min}} \sim 10^{-2.75} $，其灵敏度强烈依赖于总时延质量，而对质量比和外部参数的依赖较弱。

ABSTRACT

We explore the eccentricity measurement threshold of LISA for gravitational waves radiated by massive black hole binaries (MBHBs) with redshifted BH masses $M_z$ in the range $10^{4.5}$-$10^{7.5}~{ m M}_\odot$ at redshift $z=1$. The eccentricity can be an important tracer of the environment where MBHBs evolve to reach the merger phase. To consider LISA's motion and apply the time delay interferometry, we employ the lisabeta software and produce year-long eccentric waveforms using the inspiral-only post-Newtonian model TaylorF2Ecc. We study the minimum measurable eccentricity ($e_{ m min}$, defined one year before the merger) analytically by computing matches and Fisher matrices, and numerically via Bayesian inference by varying both intrinsic and extrinsic parameters. We find that $e_{ m min}$ strongly depends on $M_z$ and weakly on mass ratio and extrinsic parameters. Match-based signal-to-noise ratio criterion suggest that LISA will be able to detect $e_{ m min}\sim10^{-2.5}$ for lighter systems ($M_z\lesssim10^{5.5}~{ m M}_\odot$) and $\sim10^{-1.5}$ for heavier MBHBs with a $90$ per cent confidence. Bayesian inference with Fisher initialization and a zero noise realization pushes this limit to $e_{ m min}\sim10^{-2.75}$ for lower-mass binaries, assuming a $<50$ per cent relative error. Bayesian inference can recover injected eccentricities of $0.1$ and $10^{-2.75}$ for a $10^5~{ m M}_\odot$ system with a $\sim10^{-2}$ per cent and a $\sim10$ per cent relative errors, respectively. Stringent Bayesian odds criterion ($\ln{B}>8$) provides nearly the same inference. Both analytical and numerical methodologies provide almost consistent results for our systems of interest. LISA will launch in a decade, making this study valuable and timely for unlocking the mysteries of the MBHB evolution.

研究动机与目标

• 使用LISA频段内的引力波数据，确定极端质量比双黑洞（MBHB）系统可探测的最小轨道偏心率。
• 评估最小可测量偏心率（$ e_{\text{min}} $）如何依赖于时延总质量（$ M_z $）、质量比（$ q $）和外部参数。
• 对比分析方法（匹配与 Fisher 矩阵）与数值方法（贝叶斯推断）在低偏心率系统中估算 $ e_{\text{min}} $ 的精度。
• 评估波形建模、LISA轨道运动以及时延干涉技术对偏心率测量灵敏度的影响。
• 在并合之前建立LISA通过偏心率测量探测MBHB动力学环境能力的基准。

提出的方法

• 采用仅包含旋近阶段的后牛顿波形模型 TaylorF2Ecc，为红移总质量 $ M_z \in [10^{4.5}, 10^{7.5}]~{\rm M}_\odot $ 的MBHB生成一年期的引力波波形，红移 $ z=1 $。
• 使用 lisabeta 软件引入LISA的日心运动，并应用时延干涉技术以抑制激光噪声。
• 采用分析方法，基于90%置信度阈值，利用信号匹配与Fisher信息矩阵估算 $ e_{\text{min}} $。
• 通过贝叶斯推断进行数值分析，以Fisher矩阵初始化并使用零噪声实现，估算偏心率的后验分布。
• 在参数估计中，变化了内在参数（$ M_z $, $ q $, $ e_{1\text{yr}} $）和外部参数（倾角、赤经、偏振等）。
• 采用相对误差阈值（如 <50%）和严格的贝叶斯似然比（$ \ln \mathcal{B} > 8 $）评估 $ e_{\text{min}} $，以确保结果稳健。

Figure 1: Characteristic strain $h_{\rm c}$ compared to the LISA noise (solid gray; in the top panel) and accumulated phase (in the bottom panel) for an $M_{z}=10^{5}~{}{\rm M}_{\sun}$ , $q=8.0$ , and $e_{1{\rm yr}}=0.1$ binary at $z=1$ for waveform templates IMRPhenomD (dashed red) and TaylorF2Ecc

实验结果

研究问题

• RQ1 LISA在并合前一年能可靠测量的极端质量比双黑洞系统的最小轨道偏心率是多少？
• RQ2 最小可测量偏心率如何依赖于双星的总时延质量和质量比？
• RQ3 分析方法（匹配与Fisher）与数值方法（贝叶斯推断）在估算低偏心率系统 $ e_{\text{min}} $ 时表现如何比较？
• RQ4 外部参数在参数估计中对偏心率后验分布的影响有多大？
• RQ5 与相位修正相比，偏心率谐波引起的振幅修正对测量灵敏度的影响程度如何？

主要发现

• 当相对误差阈值低于50%时，LISA可测量 $ 10^{4.5}~{\rm M}_\odot $ MBHB 的偏心率低至 $ e_{\text{min}} \sim 10^{-2.75} $。
• 对于质量较轻的MBHB（$ M_z \lesssim 10^{5.5}~{\rm M}_\odot $），基于匹配的信噪比准则在90%置信度下给出 $ e_{\text{min}} \sim 10^{-2.5} $。
• 对于质量较重的MBHB（$ M_z \gtrsim 10^{5.5}~{\rm M}_\odot $），在相同置信度准则下 $ e_{\text{min}} \sim 10^{-1.5} $。
• 贝叶斯推断对注入的 $ 0.1 $ 偏心率恢复精度达约 0.01%，对 $ 10^{-2.75} $ 偏心率的恢复精度约为 10%，适用于 $ 10^5~{\rm M}_\odot $ 系统。
• Fisher形式化对轻质量系统中低偏心率的相对误差预测约为1000%，对重质量系统则高达约 $ 10^5\% $，凸显了低偏心率测量的挑战。
• 外部参数对偏心率后验分布影响极小，表明 $ e_{\text{min}} $ 对源方向和天球位置的不确定性具有鲁棒性。

Figure 2: SNR for our systems of interest for two limiting mass ratios of $q=1.2$ (top panel) and $q=8.0$ (bottom panel). In both panels, we vary $M_{z}$ from $10^{4.5}$ to $10^{7.5}~{}{\rm M}_{\sun}$ and $z$ from $1$ to $5$ , and set rest of the parameters to our fiducial values. These SNRs take in