[论文解读] The modified simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear partial differential equations

Olga Yu. Efimova|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种改进的最简方程法，用于推导非线性偏微分方程（PDEs）的精确解，将该方法的应用扩展至非行波解。通过将解表示为线性辅助方程解的组合，并求解所得代数系统，该方法为带有立方源项的广义Korteweg-de Vries方程以及描述含气泡液体中非线性波的三阶Kudryashov-Sinelshchikov方程，获得了新的精确解。

ABSTRACT

The modification of simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear partial differential equations is presented. Using this method we obtain exact solutions of generalized Korteweg-de Vries equation with cubic source and exact solutions of third-order Kudryashov-Sinelshchikov equation describing nonlinear waves in liquids with gas bubbles.

研究动机与目标

• 开发一种适用于非线性PDE的最简方程法的广义版本，其适用范围超越行波类解。
• 通过使用Maple等符号计算工具，实现解题过程的完全自动化。
• 为流体动力学和数学物理中两个重要非线性PDE推导精确解析解。
• 通过确定方程参数的约束条件，建立精确解存在的条件。
• 为描述液气混合物中压力波的Kudryashov-Sinelshchikov方程提出新的精确解。

提出的方法

• 该方法假设非线性PDE的解可表示为已知解的线性辅助方程的有限级数形式。
• 辅助方程定义为 $ Z_{x}^{(l)} = b_1 Z_{x}^{(l-1)} + \cdots + b_{l-1} Z $ 和 $ Z_t = c_1 Z_{x}^{(l-1)} + \cdots + c_{l-1} Z $，其中 $ Z $ 满足一个线性PDE系统。
• 基于原PDE的极点/零点阶数分析构造解，采用如 $ u = a_0 + a_1 \frac{Z_x}{Z} $ 或 $ u = a_0 + a_1 Z + \cdots + a_n Z^n $ 的形式。
• 将试探解代入原PDE后，通过比较 $ Z $ 及其各阶导数的幂次系数，得到代数系统。
• 求解代数系统可得参数 $ p_i $，$ \alpha $，$ \beta $，$ \sigma $ 以及系数 $ a_i $，$ b_j $，$ c_j $ 的约束条件。
• 最终解通过辅助线性PDE系统的解表达，不同参数区域下可导出显式形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 最简方程法能否推广至求解非线性PDE的非行波精确解？
• RQ2 广义Korteweg-de Vries方程的参数需满足何种必要条件，才能通过该方法获得精确解？
• RQ3 在何种参数约束下，Kudryashov-Sinelshchikov方程可利用改进的最简方程法获得精确解？
• RQ4 如何利用Maple等符号计算环境实现该方法的完全自动化？
• RQ5 为Kudryashov-Sinelshchikov方程推导出的精确解是否为新解且具有物理意义？

主要发现

• 对于带有立方源项的广义Korteweg-de Vries方程，当满足约束 $ p_6 = p_1 + 2p_5 $ 时，该方法可获得精确解，解的类型共三种，取决于 $ p_2^2 - 4p_3 $ 的符号。
• 当 $ p_2^2 - 4p_3 > 0 $ 时，解为包含实指数项的有理双曲函数，其中 $ \lambda_{1,2} = \frac{-p_2 \pm \sqrt{p_2^2 - 4p_3}}{2} $。
• 当 $ p_2^2 - 4p_3 = 0 $ 时，解退化为关于变量 $ \bar{x} $ 的有理函数，包含线性与指数项，其中 $ \lambda = -p_2/2 $。
• 当 $ p_2^2 - 4p_3 < 0 $ 时，解涉及三角函数 $ \sin $ 和 $ \cos $，在变量 $ \tilde{x} $ 中表现出类复数的振荡行为。
• 对于Kudryashov-Sinelshchikov方程，存在五种不同的参数区域可产生精确解，包括 $ \beta = -1, n = 2 $ 和 $ \sigma = -1, \beta = 2 $ 的情形，每种情形对 $ b_1, b_2, c_1, c_2 $ 均有特定约束。
• 当 $ \beta = -2 $ 时，解的形式依 $ \alpha $ 的取值不同，分别为双曲型、多项式型和三角函数型，显式表达式涉及 $ C_1, C_2 $ 及含时变量 $ z_1, z_2 $。