[论文解读] The modular height of an abelian variety and its finiteness property

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文利用阿莱克谢耶夫几何与内罗模型，将定义在 ℚ 上有限型域上的阿贝尔簇的模高度（modular height）引入，通过霍奇丛上的法尔茨度量（Faltings metric）定义高度。证明了在大极化下，具有有界模高度的阿贝尔簇的同构类是有限的，将法尔茨的有限性结果推广至几何上一般化的域。

ABSTRACT

In this note, we propose the modular height of an abelian variety defined over a field of finite type over Q. Moreover, we prove its finiteness property.

研究动机与目标

• 将法尔茨关于数域上阿贝尔簇的有限性结果推广至 ℚ 上有限型的域。
• 利用阿莱克谢耶夫几何，通过内罗模型的霍奇丛上的法尔茨度量，定义一个模高度不变量。
• 在大极化下，建立具有有界模高度的阿贝尔簇同构类的有限性。
• 通过阿莱克谢耶夫理论的交点理论，将莫雷特-贝亚的几何有限性结果推广至算术设置。

提出的方法

• 将域 K 的极化定义为 ℤ 上的概形 B，配备奈夫（nef）的 C∞-赫米特线丛，确保 B 为一般光滑，且 K 为 B 的函数域。
• 通过内罗模型在余维数一处构造霍奇丛 λ(A/K;B)，作为 B 上的秩一对偶层。
• 为 λ(A/K;B) 赋予法尔茨度量，即源自内罗模型良好约化部分的局部可积赫米特度量。
• 将模高度 h(A) 定义为极化类与霍奇丛第一陈类（带法尔茨度量）在阿莱克谢耶夫理论中的最高阶交点的度数。
• 利用扎尔金技巧（Zarhin's trick）将问题约化至主极化阿贝尔簇，确保模高度在四次幂构造下线性缩放。
• 应用半阿贝尔约化与有界除子类的有限性结果，控制高度并得出同构类的有限性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔簇的模高度能否从数域推广至 ℚ 上有限型的域，同时保持其有限性性质？
• RQ2 通过内罗模型的霍奇丛上的法尔茨度量定义的阿莱克谢耶夫理论高度，是否能保证有界高度下同构类的有限生成性？
• RQ3 模高度在基变换与同源映射下如何表现，特别是与挠子群结构的关系如何？
• RQ4 在缺乏全局内罗模型的情况下，能否利用几何与算术交点理论建立有界高度下阿贝尔簇的有限性？
• RQ5 何种极化条件可确保高度泛函控制同构类的计数？

主要发现

• 利用阿莱克谢耶夫几何与霍奇丛上的法尔茨度量，阿贝尔簇在 ℚ 上有限型域 K 上的模高度 h(A) 是良定义的。
• 对任意固定的实数 c，当极化为大极化时，满足 h(A) ≤ c 的阿贝尔簇 A 在 K 上的同构类集合是有限的。
• 高度 h(A) 与模高度 h_mod(A) 通过一个涉及 B 上除子 E_A 的修正项相关联，该修正项用于计及不良约化。
• 该修正项在有界高度集合中所有 A 上一致有界，意味着所有此类 A 在 B 上某固定除子 D 外均具有半阿贝尔约化。
• 即使极化并非严格精细，只要解决某个特定几何问题（附录 1.10.3），该有限性结果依然成立。
• 证明依赖于 m-挠点上伽罗瓦表示的有限性，以及在使挠点成为有理点的有限扩张中，分歧程度的有界性。