[论文解读] The modular variety of hyperelliptic curves of genus three

Eberhard Freitag, Riccardo Salvati Manni|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过分析三组紧化之间的有理映射，构建了具有2级结构的三行亏格双椭圆曲线模空间的新几何模型：Siegel三重三焦点中双椭圆余集的Satake紧化、P¹上8点构型的GIT紧化，以及模空间M₀,₈。关键贡献在于证明：从GIT模型到Siegel模型的有理映射的基点的Blowup，得到一个与M₀,₈同构的光滑模型；且该构造通过theta特征与Heegner除子，解释了两种紧化之间的组合对偶性。

ABSTRACT

The modular variety of non singular and complete hyperelliptic curves with level-two structure of genus 3 is a 5-dimensional quasi projective variety which admits several standard compactifications. The first one, X, comes from the realization of this variety as a sub-variety of the Siegel modular variety of level two and genus three .We will be to describe the equations of X in a suitable projective embedding and its Hilbert function. It will turn out that X is normal. A further model comes from geometric invariant theory using so-called semistable degenerated point configurations in (P^1)^8 . We denote this GIT-compactification by Y. The equations of this variety in a suitable projective embedding are known. This variety also can by identified with a Baily-Borel compactified ball-quotient. We will describe these results in some detail and obtain new proofs including some finer results for them. We have a birational map between Y and X . In this paper we use the fact that there are graded algebras (closely related to algebras of modular forms) A,B such that X=proj(A) and Y=proj(B). This homomorphism rests on the theory of Thomae (19th century), in which the thetanullwerte of hyperelliptic curves have been computed. Using the explicit equations for $A,B$ we can compute the base locus of the map from Y to X. Blowing up the base locus and the singularity of Y, we get a dominant, smooth model { ilde Y}. We will see that { ilde Y} is isomorphic to the compactification of families of marked projective lines (P^1,x_1,...,x_8), usually denoted by {\bar M_{0,8}}. There are several combinatorial similarities between the models X and Y. These similarities can be described best, if one uses the ball-model to describe Y.

研究动机与目标

• 描述Satake紧化下的三行亏格Siegel三重三焦点中双椭圆余集的方程与Hilbert函数。
• 通过P¹上8点构型的GIT紧化到有理映射的基点的Blowup，建立M₀,₈模空间的新几何实现。
• 证明基点的Blowup产生一个与M₀,₈同构的光滑模型，从而给出M₀,₈的显式几何描述。
• 通过特征2中对称与正交结构的相互作用，解释GIT与球面商模型之间的组合对偶性。

提出的方法

• 使用Thomae公式与Mumford方法，从Siegel侧的模形式环到构型空间侧的不变量环，构造一个分次代数同态。
• 显式计算从GIT紧化Y到双椭圆余集X的有理映射的基点，表明其为56个线性空间的并集，每个对应于和为零的奇theta特征三元组。
• 对基点进行Blowup以解析有理映射，得到新模型Y*，其有到X的正则映射。
• 进一步对35个例外有理曲面（cusp的逆像）进行Blowup，得到光滑模型Ŷ，证明其与M₀,₈同构。
• 利用theta特征与Heegner除子的理论，分析Blowup在Siegel模簇中的像。
• 利用(P¹)⁸//SL(2)的不变量分次代数为Gorenstein的性质，完整描述Γ[1−i]的模形式全环，避免使用K3曲面技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 从GIT紧化Y到Satake紧化中双椭圆余集X的有理映射的基点结构是什么？
• RQ2 如何通过GIT模型与双椭圆余集的Blowup，几何实现模空间M₀,₈？
• RQ3 球面商模型中的Heegner除子与Siegel模簇中双椭圆余集的分量之间有何关系？
• RQ4 为何GIT与球面商模型表现出组合相似性？这种对称性如何解释？
• RQ5 能否完全通过代数方法描述群Γ[1−i]的模形式全环，而无需使用K3曲面理论？

主要发现

• 从GIT紧化Y到双椭圆余集X的有理映射的基点是56个线性子簇的并集，每个对应于和为零的奇theta特征三元组。
• 对该基点进行Blowup，得到一个与8点稳定有理曲线模空间M₀,₈同构的光滑模型Y*。
• GIT模型中每个cusp的逆像在Y*中是一个不相交的有理曲面，对其Blowup后得到的光滑模型Ŷ与M₀,₈同构。
• 基点分量的Blowup在X中的像为不可约分量，由6个thetanullwerte的消失定义。
• 对35个cusp的Blowup的像映射到X中的二维分量，由18个thetanullwerte的消失定义：θ[0]、θ[m]，以及16个满足m+nᵢ为奇数的奇特征θ[nᵢ]。
• (P¹)⁸//SL(2)的不变量分次代数为Gorenstein，且实现Γ[1−i]的模形式全环，提供了一种不依赖K3曲面的全新代数描述。