[论文解读] The Moduli Space of Abelian Varieties and the Singularities of the Theta Divisor

Ciro Ciliberto, Gerard van der Geer|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 16

一句话总结

本文研究了在 principally polarized abelian varieties 的模空间 $\mathcal{A}_g$ 中，$N_k$ 子簇的余维数，其中 $N_k$ 参数化 theta 除子具有 $k$-维奇异子簇的阿贝尔簇。利用代数几何技术，包括 Gauss 映射、Segre 关于二次曲线族的定理以及 Matsusaka-Ran 准则，作者为 $N_1$ 的余维数建立了紧致下界，证明余维数为 3 的情形恰好出现在超椭圆子簇 $\mathcal{H}_4$ 和雅可比子簇 $J_5$ 上，并猜想这些是仅有的此类分支。

ABSTRACT

In this paper we give a lower bound for the codimension of the Andreotti-Mayer loci in the moduli space of principally polarized complex abelian varieties. We also present a conjecture on this codimension.

研究动机与目标

• 确定 principally polarized abelian varieties 的模空间 $\mathcal{A}_g$ 中 $N_k$ 子簇的不可约分支的余维数。
• 为 $N_1$（即 theta 除子具有 1-维奇异子簇的子簇）的余维数建立紧致下界。
• 刻画余维数为 3 的 $N_1$ 不可约分支，猜想其恰好为超椭圆子簇 $\mathcal{H}_4$ 与雅可比子簇 $J_5$。
• 应用几何技术——如 Gauss 映射、Segre 关于二次曲线族的定理以及 Matsusaka-Ran 准则——分析 theta 除子的奇点及其模理论意义。

提出的方法

• 分析 principally polarized abelian variety $(X,\Theta)$ 上 theta 除子 $\Theta$ 的奇异子簇 $\operatorname{Sing}(\Theta)$，重点关注其维数与几何结构。
• 利用 Gauss 映射 $\gamma: \operatorname{Sing}(\Theta) \to \mathbb{P}^{k+2}$ 研究其像 $\Sigma$，当 $\dim \operatorname{Sing}(\Theta) = k$ 时，$\Sigma$ 位于维数为 $k+2$ 的射影空间中。
• 应用 Segre 定理于线性系中奇异二次曲面的数量，以限制 $\Sigma$ 的次数，确保其在非退化条件下包含一条直线，从而在非退化假设下导出矛盾。
• 使用 Matsusaka-Ran 准则推断：若奇异曲线 $R \subset \operatorname{Sing}(\Theta)$ 的类是极小类 $\alpha = \Theta^{g-1}/(g-1)!$ 的倍数，则 $X$ 必为雅可比或 Prym 变量。
• 利用 Gauss 映射通过 $-1$-对合因子分解的事实，表明映射 $R \to \Sigma$ 的次数至少为 2，并研究该次数恰好为 2 的情形，以限制余维数。
• 分析在 $|\Sigma|$ 中奇异二次曲面的判别式子簇 $\Delta$，以推导 $\operatorname{Sing}(\Theta)$ 结构的几何约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{A}_g$ 中，$N_1$ 的不可约分支的最小可能余维数是多少？
• RQ2 哪些 $N_1$ 的不可约分支达到余维数 3，能否从几何上加以刻画？
• RQ3 当 $\Theta$ 的 1-维奇异子簇上的 Gauss 映射次数为 2 时，其条件为何，这对模空间有何含义？
• RQ4 若假设 $\operatorname{Sing}(\Theta)$ 是有理曲线或平面五次曲线上的 2:1 覆盖，是否能由此对 $X$ 进行分类？
• RQ5 能否利用 Segre 关于二次曲线族的定理排除 $N_1$ 的更高余维数分支？

主要发现

• 任何 $N_1$ 不可约分支的余维数至少为 3，且该下界是紧致的：余维数为 3 的情形恰好出现在超椭圆子簇 $\mathcal{H}_4$ 与雅可比子簇 $J_5$ 上。
• 当 $g=4$ 时，超椭圆子簇 $\mathcal{H}_4$ 是 $N_{1,1}$ 的不可约分支，余维数为 3，且 $\Theta$ 的奇异子簇是映射到 $\mathbb{P}^3$ 中一条三次有理正则曲线的 2:1 覆盖曲线。
• 当 $g=5$ 时，雅可比子簇 $J_5$ 是 $N_{1,1}$ 的不可约分支，余维数为 3，且 $\Theta$ 的奇异子簇是通过 Prym canonical 映射 2:1 映射到平面五次曲线的亏格 11 的曲线。
• 若 $N$ 是 $N_1$ 的余维数为 3 的分支，且 $[X,\Theta]$ 是 $N$ 的一般点，则根据 Matsusaka-Ran 准则，$X$ 必为雅可比或 Prym 变量。
• Gauss 映射 $R \to \Sigma$ 的次数恰好为 2 当且仅当 $R$ 的类是极小类 $\alpha = \Theta^{g-1}/(g-1)!$ 的倍数，且该条件是余维数为 3 的必要条件。
• 作者猜想：除 $\mathcal{H}_4$ 与 $J_5$ 外，不存在其他余维数为 3 的 $N_1$ 不可约分支，且该余维数下界对 $g=4$ 与 $g=5$ 是紧致的。