[论文解读] The Monge-Kantorovich problem for distributions and applications

Guy Bouchitté, Giuseppe Buttazzo+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文将经典的Monge-Kantorovich最优传输问题推广至X₀(Ω)中的分布，该空间为零总质量的一阶分布空间，证明了即使源与目标之差为分布而非测度时，最优传输密度依然存在。关键贡献在于将任一f ∈ X₀(Ω)分解为f = fₜ + fₙ，其中fₜ ∈ X♯₀(Ω)（零总质量有符号测度在Kantorovich范数下的闭包），而fₙ为法向测度的散度，且W₁(f)可分解为W₁(fₜ) + W₁(fₙ)。

ABSTRACT

We study the Kantorovich-Rubinstein transhipment problem when the difference between the source and the target is not anymore a balanced measure but belongs to a suitable subspace $X(\Omega)$ of first order distribution. A particular subclass $X_0^\sharp(\Omega)$ of such distributions will be considered which includes the infinite sums of dipoles $\sum_k(\delta_{p_k}-\delta_{n_k})$ studied in \cite{P1, P2}. In spite of this weakened regularity, it is shown that an optimal transport density still exists among nonnegative finite measures. Some geometric properties of the Banach spaces $X(\Omega)$ and $X_0^\sharp(\Omega)$ can be then deduced.

研究动机与目标

• 将经典的Monge-Kantorovich最优传输问题推广至源与目标之差为X₀(Ω)中分布（而非有符号测度）的情形，其中X₀(Ω)为零总质量的一阶分布空间。
• 为X₀(Ω)中此类广义数据建立最优传输密度（非负有限测度）的存在性。
• 刻画分布f ∈ X₀(Ω)到子空间X♯₀(Ω)（零总质量有符号测度在Kantorovich范数下的闭包）的距离。
• 提供X₀(Ω)到子空间X♯₀(Ω)与法向测度散度的正交补的几何与分析分解，揭示Banach空间X₀(Ω)的结构特性。
• 将理论与几何测度论及Sobolev映射的雅可比行列式联系起来，尤其在Ginzburg-Landau理论与Dirichlet能量松弛化背景下的应用。

提出的方法

• 本文将X₀(Ω)定义为C¹(Ω)在Lipschitz范数下的对偶空间，即紧支集的一阶分布空间，且平均为零。
• 定义X♯₀(Ω)为零总质量有符号测度在Kantorovich范数下的闭包，其特征由涉及测试函数L∞范数及其梯度L∞范数的模连续性条件刻画。
• 通过将f表示为向量测度ν的分布散度，再将ν分解为切向与法向分量ν = νₜ + νₙ，从而证明f ∈ X₀(Ω)的最优传输密度µ的存在性。
• 关键技术工具是利用松弛泛函与Fenchel共轭的对偶论证，分析法向分量νₙ，从而识别出到X♯₀(Ω)的距离即为νₙ的L¹范数。
• 利用Ω × S^{N-1} × [0, ∞)上正测度的分解，表示传输计划，并推导出到X♯₀(Ω)距离的第二个公式，即为该测度的‘法向部分’σ₀总变差的下确界。
• 一个关键引理（引理4.1）构造了一列梯度有界的测试函数ϕₙ，使得∇ϕₙ · η的积分收敛于向量场η的法向分量的L¹范数，这对证明关于距离与分解的主要定理至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 Monge-Kantorovich最优传输问题能否在f ∈ X₀(Ω)（f为分布而非有符号测度）的情形下有意义地推广？
• RQ2 当源与目标之差为X₀(Ω)中的分布时，最优传输密度（非负有限测度）是否依然存在？
• RQ3 X₀(Ω)的空间结构（特别是其分解为X♯₀(Ω)与法向测度散度空间的正交补）具有怎样的几何与分析特性？
• RQ4 如何通过最优传输理论刻画分布f ∈ X₀(Ω)到子空间X♯₀(Ω)的距离？
• RQ5 该理论能否用于表示与分析属于X₀(Ω)的W¹, N−1(Ω, S^{N−1})映射的雅可比行列式？

主要发现

• 对于任意f ∈ X₀(Ω)，最优传输密度µ存在，即f可表示为向量测度ν的分布散度，且|ν|（ν的总变差）即为传输密度。
• 空间X₀(Ω)允许唯一分解f = fₜ + fₙ，其中fₜ ∈ X♯₀(Ω)，fₙ = −div β（β为法向测度），且Kantorovich范数满足W₁(f) = W₁(fₜ) + W₁(fₙ)。
• f ∈ X₀(Ω)到子空间X♯₀(Ω)的距离为W₁(f, X♯₀(Ω)) = ∫|νₙ|，其中νₙ为任意满足−div ν = f的向量测度ν的法向分量。
• 距离的第二个刻画为W₁(f, X♯₀(Ω)) = inf{∥σ₀∥ : σ ∈ M⁺(Ω × S^{N−1} × [0, ∞)), π♯σ = f}，其中σ₀为测度σ的‘法向部分’。
• 本文证明X♯₀(Ω)是X₀(Ω)的闭子空间，且到X♯₀(Ω)的投影是线性且连续的。
• 该理论适用于有界W¹, N−1(Ω, S^{N−1})映射的雅可比行列式，表明此类雅可比行列式属于X♯₀(Ω)，且其Kantorovich范数对应于最小连接的质量，这在Ginzburg-Landau理论与Dirichlet能量松弛化中具有重要意义。