[论文解读] The Morava E-theories of finite general linear groups

S. Marsh|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文利用广义特征理论和 $p$-进群的表示理论，计算了有限域上一般线性群 $GL_d(\mathbb{F}_q)$ 的分类空间的有理与整数 Morava $E$-理论。它建立了一个 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 的自由模基，该基由极大环面的不变多项式与传递映射产生的挠类组合而成，关键结果表明上同调是这些分量的直和。

ABSTRACT

By studying the representation theory of a certain infinite $p$-group and using the generalised characters of Hopkins, Kuhn and Ravenel we find useful ways of understanding the rational Morava $E$-theory of the classifying spaces of general linear groups over finite fields. Making use of the well understood theory of formal group laws we establish more subtle results integrally, building on relevant work of Tanabe. In particular, we study in detail the cases where the group has dimension less than or equal to the prime $p$ at which the $E$-theory is localised.

研究动机与目标

• 计算有限域上一般线性群 $GL_d(\mathbb{F}_q)$ 的分类空间 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ 的 Morava $E$-理论。
• 利用广义特征理论和形式群律，理解 $E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q))$ 的有理与整数结构。
• 以不变多项式和来自传递映射的挠类为基准，确定 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 的基。
• 通过 Hovey-Strickland 对偶性和 Hopkins-Kuhn-Ravenel 特征理论，将 Tanabe 的 $K(n)$-理论结果推广至 $E$-理论设定。

提出的方法

• 利用 Hopkins、Kuhn 和 Ravenel 的广义特征理论，将有限群 $G$ 的 $E^0(BG)$ 计算问题简化为研究 $G$ 中 $p$-元的可交换 $n$-元组。
• 应用 $p$-进群 $\mathbb{Z}_p^n$ 的表示理论，分析 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ 的 $K$-理论。
• 使用限制映射 $\beta: E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q)) \to E^0(BT_d)$，并识别其核为由 $tc_p^i$（$0 \leq i < N$）生成的自由模。
• 通过 $E^*$-理论中的对偶性，将 $E^0(BT_d)^{\Sigma_d}$ 的基 $B$ 通过典范分裂提升至 $E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q))$。
• 构造环 $D = E^0[[x]]/\langle p\rangle([p^v](x))$ 以建模循环 $p$-子群的上同调，并将其与传递映射关联。
• 利用伽罗瓦作用与余不变结构，将 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ 的 $K(n)^*$-理论与 $BGL_d(\overline{\mathbb{F}}_l)$ 的 $K(n)^*$-理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义特征理论计算 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ 的有理 Morava $E$-理论？
• RQ2 当 $p$ 整除 $|\mathbb{F}_q^\times|$ 时，$E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 的整数结构是什么？
• RQ3 限制映射 $\beta: E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q)) \to E^0(BT_p)$ 如何分解？其核的结构如何？
• RQ4 传递类 $t$ 和 $l$-欧拉类 $c_p$ 在生成 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 的 $E^0$-模结构中起什么作用？
• RQ5 能否通过 Hovey-Strickland 对偶性，从 $K(n)$-理论恢复 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$ 的 $E$-理论？

主要发现

• 通过广义特征理论，$BGL_d(\mathbb{F}_q)$ 的有理 Morava $E$-理论被计算，问题被简化为 $\mathbb{Z}_p^n$ 的表示理论。
• 当 $d = p$ 时，$E^0$-模 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 分解为 $\beta$ 的核与 $E^0(BT_p)$ 的不变部分的直和。
• $\beta$ 的核同构于 $E^0\{tc_p^i \mid 0 \leq i < N\}$，其中 $t$ 是传递类，$c_p$ 是 $l$-欧拉类。
• $E^0(BT_p)^{\Sigma_p}$ 的基 $\tilde{B}$ 可典范地提升至 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$，构成完整基的一部分。
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 的完整基由 $\tilde{B} \cup \{tc_p^i \mid 0 \leq i < N\}$ 给出，证明了其自由性与显式结构。
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$ 作为 $E^0$-模是自由的，且位于偶数度数，与已知的 $E^*$-理论对偶性结果一致。