[论文解读] The Morse potential and phase-space quantum mechanics

B. Belchev, Mark A. Walton|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的解析解法，利用梅林变换求解相空间量子力学中Morse势的$∗$-本征值方程。通过利用Morse势的指数多项式结构，作者将$∗$-本征值方程转化为可解的差分方程，从而得到束缚态和散射态Wigner函数的闭合表达式，这些结果通过已知波函数的直接Wigner变换得到验证。

ABSTRACT

We consider the time-independent Wigner functions of phase-space quantum mechanics (a.k.a. deformation quantization) for a Morse potential. First, we find them by solving the $\ast$-eigenvalue equations, using a method that can be applied to potentials that are polynomial in an exponential. A Mellin transform converts the $\ast$-eigenvalue equations to difference equations, and factorized solutions are found directly for all values of the parameters. The symbols of both diagonal and off-diagonal density operator elements in the energy basis are found this way. The Wigner transforms of the density matrices built from the known wave functions are then shown to confirm the solutions.

研究动机与目标

• 开发一种在变形量化的框架下求解指数函数多项式形式势的$∗$-本征值方程的一般方法。
• 将该方法具体应用于量子力学中广泛应用的Morse势。
• 推导出束缚态和散射态Wigner函数的显式闭合解。
• 通过展示与Schrödinger理论中标准波函数的Wigner变换的一致性，验证所得到的解。
• 拓展变形量化在具有非平凡指数依赖性的势能中的适用性。

提出的方法

• 利用Wigner-Weyl对应关系，通过Wigner变换将算符映射为相空间符号。
• 应用Moyal $∗$-乘积，建立Morse势的$∗$-本征值方程。
• 采用梅林变换将伪微分的$∗$-本征值方程转化为线性差分方程。
• 通过适用于所有实参数值的因式分解试探解法求解所得差分方程。
• 通过计算已知Schrödinger波函数的Wigner变换并确认一致性，验证解的正确性。
• 应用包含修正贝塞尔函数$K_\nu(x)$的积分表示，以闭合形式计算Wigner变换积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用变换方法对Morse势的$∗$-本征值方程求得闭合形式的解？
• RQ2 梅林变换方法是否能为束缚态和散射态均生成一致的Wigner函数？
• RQ3 从$∗$-本征值方程导出的解能否通过标准波函数的直接Wigner变换得到验证？
• RQ4 Morse势的指数多项式结构在实现通过差分方程求解中起到何种作用？
• RQ5 该方法如何推广到其他形如$\exp(-\alpha x)$多项式形式的势能？

主要发现

• 作者利用梅林变换，为相空间量子力学中Morse势的Wigner函数推导出一般性的闭合解。
• 该解适用于势参数$b$的所有实数值，包括非整数和负值，扩展了以往的研究结果。
• 该方法成功生成了能量表象下的对角（$E_L = E_R$）和非对角（$E_L \neq E_R$）Wigner函数。
• 束缚态Wigner函数通过已知Morse波函数（涉及关联合流多项式）的直接Wigner变换得到确认。
• 利用相同方法推导并验证了散射态Wigner函数，将解扩展至连续谱。
• 解与Schrödinger波函数的Wigner变换一致，包括在积分计算中使用Whittaker函数和修正贝塞尔函数。