[论文解读] The motive of some moduli spaces of vector bundles over a curve

Sebastián del Baño Rollin|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文计算了光滑代数曲线上秩为二的半稳定向量丛模空间的动机，区分了奇数次与偶数次情形。对于奇数次情形，确定了绝对霍奇动机与霍奇-庞加莱多项式；对于偶数次情形，计算了纯欧拉特征数，并表明上同调在某一程度内是纯的，且每个上同调群仅包含两个权重。

ABSTRACT

We study the motive of the moduli spaces of semistable rank two vector bundles over an algebraic curve. When the degree is odd the moduli space is a smooth projective variety, we obtain the absolute Hodge motive of this, and in particular the Hodge-Poincare polynomial. When the degree is even the moduli space is a singular projective variety, we compute pure Euler characteristics and show that only two weights can occur in each cohomology group, we also see that its cohomology is pure up to a certain degree. As a by-product we obtain the isogeny type of some intermediate jacobians of the moduli spaces.

研究动机与目标

• 确定光滑代数曲线上秩为二的半稳定向量丛模空间的动机。
• 分析这些模空间的霍奇理论性质，特别是奇数次丛的情形。
• 研究当度数为偶数时模空间的上同调结构，包括纯性与权重滤子。
• 作为动机计算的副产品，计算中间雅可比簇的同源类型。
• 在奇数次与偶数次情形下，完整描述霍奇-庞加莱多项式与纯欧拉特征数。

提出的方法

• 运用代数几何中的动机理论，研究半稳定向量丛模空间的动机结构。
• 应用几何不变量理论的结果，将模空间构造为一个射影代数簇。
• 运用霍奇结构与霍奇-庞加莱多项式的理论，计算奇数次情形下的绝对霍奇动机。
• 对于偶数次情形，使用奇点的解析化与权重滤子分析上同调群。
• 应用分解定理与纯性结果，表明每个上同调群中仅出现两个权重。
• 从动机分解与霍奇理论数据中推导出中间雅可比簇的同源类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲线上，秩为二的奇数次半稳定向量丛模空间的绝对霍奇动机是什么？
• RQ2 当度数为偶数时，模空间的上同调行为如何，特别是关于权重滤子的性质？
• RQ3 在偶数次情形下，模空间的纯欧拉特征数是多少？
• RQ4 模空间的上同调在多大程度上是纯的？纯性在多大程度上成立？
• RQ5 与这些模空间相关的中间雅可比簇的同源类型是什么？

主要发现

• 对于奇数次情形，模空间是光滑射影代数簇，其绝对霍奇动机被显式计算。
• 在奇数次情形下，霍奇-庞加莱多项式被完全确定。
• 在偶数次情形下，模空间是奇异的，但其纯欧拉特征数已被计算。
• 在偶数次情形下，每个上同调群仅包含两个权重，表明权重滤子受到严格限制。
• 上同调在某一程度内是纯的，证实了上同调结构中的部分纯性。
• 作为动机计算的副产品，中间雅可比簇的同源类型已被确定。