[论文解读] The Non-Backtracking Spectrum of the Universal Cover of a Graph

Omer Angel, Joel Friedman+1 more|ArXiv.org|Dec 2, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文通过多项式方程组与谱半径条件，对有限图的通用覆盖图的非回溯谱提供了完整的代数表征。证明了谱由满足单位范数条件的这些方程的解所决定，并表明对于非正则图，谱在复平面上可具有正测度——与正则情况形成对比。关键贡献在于提出了一种有效算法，通过比例系统与关联矩阵算子在边变量上的谱半径分析，实现谱的计算。

ABSTRACT

A non-backtracking walk on a graph, $H$, is a directed path of directed edges of $H$ such that no edge is the inverse of its preceding edge. Non-backtracking walks of a given length can be counted using the non-backtracking adjacency matrix, $B$, indexed by $H$'s directed edges and related to Ihara's Zeta function. We show how to determine $B$'s spectrum in the case where $H$ is a tree covering a finite graph. We show that when $H$ is not regular, this spectrum can have positive measure in the complex plane, unlike the regular case. We show that outside of $B$'s spectrum, the corresponding Green function has ``periodic decay ratios.'' The existence of such a ``ratio system'' can be effectively checked, and is equivalent to being outside the spectrum. We also prove that the spectral radius of the non-backtracking walk operator on the tree covering a finite graph is exactly $\sqrt\gr$, where $\gr$ is the growth rate of the tree. This further motivates the definition of the graph theoretical Riemann hypothesis proposed by Stark and Terras \cite{ST}. Finally, we give experimental evidence that for a fixed, finite graph, $H$, a random lift of large degree has non-backtracking new spectrum near that of $H$'s universal cover. This suggests a new generalization of Alon's second eigenvalue conjecture.

研究动机与目标

• 表征有限图的通用覆盖图上非回溯随机游走算子的谱。
• 通过分析非正则情形（此时谱在复平面上可能具有正测度）将谱论扩展至非正则图。
• 建立格林函数可逆性与周期衰减比系统之间的联系。
• 提供一种基于多项式方程与谱半径条件的算法化方法，用于计算谱。

提出的方法

• 使用以有向边为索引的非回溯邻接矩阵 B 来计数非回溯行走。
• 将算子 B 提升至通用覆盖图 eH，并通过广义格林函数分析其谱。
• 定义比例系统 {re}e∈E(H)，表示格林函数的周期衰减比。
• 构造一个矩阵 R，其元素由边权与比例导出，并计算其谱半径 α(r)。
• 建立 eB − λI 可逆当且仅当存在一组满足 α(r) < 1 的多项式方程组的解。
• 将条件 α(r) < 1 作为谱成员资格的分类标准，利用核算子有界性进行推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限图的通用覆盖图的非回溯谱能否在图非正则的情况下仍通过代数方法表征？
• RQ2 当基图为非正则图时，谱的结构如何？其在复平面上是否具有正测度？
• RQ3 是否存在一种系统性方法，用于判断复数 λ 是否位于通用覆盖图上非回溯算子谱之外？
• RQ4 有限图的随机大提升图的谱与其通用覆盖图的谱有何关系？
• RQ5 能否用树的增长率表示通用覆盖图上非回溯算子的谱半径？

主要发现

• 有限图的通用覆盖图上非回溯算子的谱由边变量 {re} 上满足范数条件 α(r) < 1 的多项式方程组的可解性所决定。
• 对于非正则图，非回溯谱在复平面上可具有正测度，而正则情况下其谱被包含在若干区间与一个圆周的并集中。
• 通用覆盖图上非回溯随机游走算子的谱半径恰好为 √gr，其中 gr 为树的增长率。
• 数值实验表明，有限图的随机大提升图的非回溯谱收敛于其通用覆盖图的谱。
• 满足 α(r) < 1 的比例系统是非回溯算子 eB − λI 可逆的充要条件，且此类系统可被有效检验。
• 存在满足 α(r) < 1 的广义周期比系统，可保证关联格林函数核的有界性，并表征谱。