[论文解读] The non-existence of bi-Lipschitz embedding of sub-Riemannian manifold in Banach spaces with Radon-Nikodym property

Yonghong Huang, Shanzhong Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文证明了带有左不变黎曼度量的连通、单连通非交换幂零李群，无法嵌入满足曲率-维数条件 $CD(0,N)$ 且 $N>1$ 的度量测度空间中进行拟等距嵌入。关键结果表明，具有至少为2的典型非完整度的子黎曼流形无法嵌入具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间中，且进一步证明所有正规子黎曼流形均不满足实数 $K,N$ 且 $N>1$ 的 $CD(K,N)$ 条件。

ABSTRACT

In this paper, we prove that there do not exist quasi-isometric embeddings of connected, simply connected non-abelian nilpotent Lie groups equipped with left invariant Riemannian metrics into a metric measure space satisfying the curvature dimension condition $CD(0,N)$, with $N\in\mathbf{R}$ and $N>1$. The main technical result of this work is the proof of a sub-Riemannian manifold whose generic degree of nonholonomy is not smaller than $2$, can not be bi-Lipschitzly embedded in Banach space with the Radon-Nikodym property (see Definition $2.7$). We also get that every regular sub-Riemannian manifold do not satisfy the curvature dimension condition $CD(K,N)$, where $K,N\in\mathbf{R}$ and $N>1$.

研究动机与目标

• 研究子黎曼流形嵌入具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间时的几何约束。
• 确定带有左不变黎曼度量的连通、单连通非交换幂零李群是否可以拟等距嵌入满足 $CD(0,N)$ 条件且 $N>1$ 的度量测度空间中。
• 分析非完整度在阻碍子黎曼流形嵌入具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间中的作用。
• 建立正规子黎曼流形不满足实数 $K,N$ 且 $N>1$ 的曲率-维数条件 $CD(K,N)$ 的结论。

提出的方法

• 证明依赖于对非完整度至少为2的子黎曼流形几何结构的复杂分析。
• 利用巴拿赫空间中的Radon-Nikodym性质概念，排除双李普希茨嵌入的可能性。
• 将曲率-维数条件 $CD(0,N)$ 应用于度量测度空间，以限制可能的嵌入。
• 利用幂零李群及其左不变度量的内在几何结构，推导出不可嵌入的结果。
• 比较子黎曼流形与满足 $CD(K,N)$ 条件的空间之间的度量性质。
• 分析利用了子黎曼几何中非完整度的典型度影响双李普希茨嵌入可能性的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有左不变黎曼度量的连通、单连通非交换幂零李群是否可以拟等距嵌入满足 $CD(0,N)$ 条件且 $N>1$ 的度量测度空间中？
• RQ2 具有典型非完整度至少为2的子黎曼流形是否可以双李普希茨嵌入具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间中？
• RQ3 曲率-维数条件 $CD(K,N)$ 与正规子黎曼流形的几何结构之间存在何种关系？
• RQ4 子黎曼流形的非完整度在多大程度上阻碍其嵌入到某些巴拿赫空间中？
• RQ5 所有正规子黎曼流形是否均不满足实数 $K,N$ 且 $N>1$ 的 $CD(K,N)$ 条件？

主要发现

• 不存在带有左不变黎曼度量的连通、单连通非交换幂零李群拟等距嵌入满足 $CD(0,N)$ 条件且 $N>1$ 的度量测度空间的情况。
• 具有典型非完整度不小于2的子黎曼流形无法双李普希茨嵌入任何具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间中。
• 每个正规子黎曼流形均不满足实数 $K,N$ 且 $N>1$ 的曲率-维数条件 $CD(K,N)$。
• 子黎曼流形的非完整度在阻碍其双李普希茨嵌入具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间中起着关键作用。
• $CD(0,N)$ 条件（$N>1$）与这类子黎曼流形的几何结构不相容。
• 结果确立了将某些子黎曼几何结构嵌入具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间以及 $CD(0,N)$-空间（$N>1$）的根本障碍。