[论文解读] The Noncommutative Geometry of Graph $C^*$-Algebras I: The Index Theorem

David Pask, Adam Rennie|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 10

一句话总结

该论文为具有忠实规范不变迹的图 $C^*$-代数构造了 $(1,ty)$-可求和的半有限谱三元组，利用规范作用和一个固定点代数作为标量。通过半有限局部指标定理建立了数值指标配对，表明其与 $K_1(C^*(E))$ 的配对应等于由固定点代数上迹诱导的 $K_0$-映射，从而得到比代数同构类更精细的不变量。

ABSTRACT

We investigate conditions on a graph $C^*$-algebra for the existence of a faithful semifinite trace. Using such a trace and the natural gauge action of the circle on the graph algebra, we construct a smooth $(1,\infty)$-summable semfinite spectral triple. The local index theorem allows us to compute the pairing with $K$-theory. This produces invariants in the $K$-theory of the fixed point algebra, and these are invariants for a finer structure than the isomorphism class of $C^*(E)$.

研究动机与目标

• 为图 $C^*$-代数开发一个非交换几何框架，使用半有限谱三元组。
• 将指标定理扩展至具有忠实规范不变迹的图 $C^*$-代数的半有限情形。
• 计算 $K_1(C^*(E))$ 与谱三元组之间的数值指标配对，将其与固定点代数的 $K_0$-理论联系起来。
• 证明由此产生的指标不变量可检测到比 $C^*(E)$ 同构类更精细的代数结构。

提出的方法

• 为 $C^*(E)$-$F$ 构造一个奇数 Kasparov 模 $(X,V)$，其中 $F$ 是 $S^1$ 规范作用下的固定点代数，适用于无源的局部有限图。
• 利用 $C^*(E)$ 上给定的规范不变迹 $\tau$，在 $C^*$-$F$-模 $X$ 的自同态代数上定义一个典范的忠实半有限下半连续迹 $\tilde{\tau}$。
• 利用模 $X$ 和算子 $\mathcal{D}$，为 $C^*(E)$ 的光滑子代数 ${\mathcal{A}} \subset C^*(E)$ 构造一个光滑的 $(1,\infty)$-可求和的半有限谱三元组 $({\mathcal{A}},{\mathcal{H}},{\mathcal{D}})$。
• 应用半有限局部指标定理，计算数值指标配对 $\langle K_1(C^*(E)), ({\mathcal{A}},{\mathcal{H}},{\mathcal{D}}) \rangle$。
• 证明该指标配对等于 $\tilde{\tau}_* \langle K_1(C^*(E)), (X,V) \rangle$，其中 $\tilde{\tau}_*$ 是由端子代数上 $\tilde{\tau}$ 诱导的 $K$-理论映射。
• 利用 $K_0(F)$ 中的指标类定义不变量，以区分非同构但 $C^*(E)$ 同构的图 $C^*$-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有忠实规范不变迹的图 $C^*$-代数构造半有限谱三元组，即使标准谱三元组公理不成立？
• RQ2 半有限局部指标定理如何应用于此类谱三元组，其与 $K_1(C^*(E))$ 的指标配对结果是什么？
• RQ3 通过半有限迹计算的指标配对是否在 $KK$-等价下保持不变，并且是否能检测到比 $C^*(E)$ 同构类更精细的结构？
• RQ4 在规范作用下，固定点代数 $F$ 在定义正确的紧致性与标量结构概念中起什么作用？

主要发现

• 半有限谱三元组与 $K_1(C^*(E))$ 的数值指标配对等于 $\tilde{\tau}_* \langle K_1(C^*(E)), (X,V) \rangle$，其中 $\tilde{\tau}_*$ 是端子代数上典范半有限迹诱导的 $K$-理论映射。
• 该构造为任意具有忠实规范不变迹的图 $C^*$-代数提供了 $(1,\infty)$-可求和的半有限谱三元组，将非交换几何的适用范围扩展至标准谱三元组框架之外。
• 该指标类属于 $K_0(F)$，其中 $F$ 是 $S^1$ 规范作用下的固定点代数，且该类是比 $C^*(E)$ 同构类更精细结构的不变量。
• 该方法为图 $C^*$-代数提供了一类新的 $K$-理论不变量，通过一个例子得到验证：非同构代数可能具有同构的 $C^*(E)$，但指标配对不同。
• 该配对是双线性的，并且在 $KK$-等价下保持不变，指标通过在更大模上 $PuP$ 的核与余核定义，推广了谱流概念。
• 由于其拟局部结构，该构造适用于非单位图 $C^*$-代数，使得光滑局部代数技术得以应用。