[论文解读] The nonholonomic Riemann and Weyl tensors for flag manifolds

Pavel Grozman, Dimitry Leites|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文利用李代数上同调与Premet定理，基于李代数的上同调理论，为单李代数对应的旗流形引入了非完整分布的黎曼与威爾曲率张量的一般定义。通过SuperLie软件包，对极大抛物子代数进行了这些张量的计算，首次系统地计算了此类背景下非完整曲率障碍，包括$G_2$-结构及其超对称版本。

ABSTRACT

On any manifold, any non-degenerate symmetric 2-form (metric) and any skew-symmetric (differential) form W can be reduced to a canonical form at any point, but not in any neighborhood: the respective obstructions being the Riemannian tensor and dW. The obstructions to flatness (to reducibility to a canonical form) are well-known for any G-structure, not only for Riemannian or symplectic structures. For the manifold with a nonholonomic structure (nonintegrable distribution), the general notions of flatness and obstructions to it, though of huge interest (e.g., in supergravity) were not known until recently, though particular cases were known for more than a century (e.g., any contact structure is ``flat'': it can always be reduced, locally, to a canonical form). We give a general definition of the NONHOLONOMIC analogs of the Riemann and Weyl tensors. With the help of Premet's theorems and a package SuperLie we calculate these tensors for the particular case of flag varieties associated with each maximal (and several other) parabolic subalgebra of each simple Lie algebra. We also compute obstructions to flatness of the G(2)-structure and its nonholonomic super counterpart.

研究动机与目标

• 为流形上任意非可积分布定义非完整黎曼曲率张量的一般不变形式，将经典微分几何推广至非完整几何设定。
• 引入非完整威爾张量作为非完整共形变换下的曲率不变量，即非完整黎曼张量的共形类比。
• 利用代数工具，显式计算简单李群$G$与抛物子群$P$的旗流形$G/P$上的这些曲率张量。
• 解决长期悬而未决的难题：为非完整结构定义曲率障碍，此前部分研究者认为此问题不可行。
• 通过计算非完整超$G_2$-结构障碍，将该框架扩展至超流形，该结果与超引力理论密切相关。

提出的方法

• 基于嘉当结构方程与李代数上同调，提出非完整黎曼与威爾张量的一般定义，避免使用坐标基张量微分几何。
• 利用Premet关于抛物子代数上同调的定理，系统计算$G$-结构在旗流形上的结构函数（平坦性的障碍）。
• 应用基于Mathematica的SuperLie软件包，显式计算曲率张量与各种李代数的上同调群$H^1$。
• 将非完整曲率问题归约为计算李代数上同调$H^1(\text{抛物子代数}, \text{伴随表示})$，该上同调编码了障碍信息。
• 为非完整分布上的度量与非退化2-形式构造典范形式，障碍由非完整黎曼张量给出。
• 通过验证所提非完整黎曼张量与Tanaka早期工作的结果一致，确认其一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意非可积分布在流形上建立非完整黎曼张量的一般、不变定义？
• RQ2 非完整黎曼张量的共形类比是什么？它与可积情形下的威爾张量有何关系？
• RQ3 对于单李代数的极大抛物子代数，旗流形$G/P$的显式曲率障碍（结构函数）是什么？
• RQ4 非完整$G_2$-结构及其超对称版本能否通过显式曲率障碍表征？
• RQ5 Premet定理与SuperLie软件包在多大程度上使非完整曲率张量的计算超越孤立例子？

主要发现

• 非完整黎曼张量通过李代数上同调$H^1(\text{抛物子代数}, \text{伴随})$定义，提供了一类规范的、不变的非完整结构局部平坦性的障碍。
• 在经典域$S=O(n+2)$中，非完整威爾张量与黎曼张量的共形不变部分一致，证实与经典几何的一致性。
• 为$\frak{o}(2n)$、$\frak{o}(2n+1)$与$\frak{sp}(2n)$显式计算了权与$H^1$上同调群表，揭示了曲率障碍的结构。
• 非完整$G_2$-结构障碍已计算并显示非平凡，表明在非完整设定下$G_2$-结构非平坦。
• 利用相同框架计算了非完整超$G_2$-结构障碍，证明该方法可推广至超流形。
• 结果确认所提非完整黎曼张量与Tanaka的定义一致，解决了该领域长期存在的歧义。