[论文解读] The Palais-Smale condition for contact type energy levels for convex lagrangian systems

Gonzalo Contreras|ArXiv.org|Apr 17, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文证明，在紧致流形上（除2-环面外）的均匀凸拉格朗日系统中，接触型能量水平对自由时间作用泛函满足Palais-Smale条件。这使得变分方法可被应用于证明几乎所有能量水平上存在周期轨道，以及在Mañé临界值以下存在共轭点，从而将结果扩展至先前方法失效的低能区域。

ABSTRACT

We prove that for a uniformly convex Lagrangian system L on a compact manifold M, almost all energy levels contain a periodic orbit. We also prove that below Ma ne's critical value of the lift of the Lagrangian to the universal cover, almost all energy levels have conjugate points. We prove that if the energy level [E=k] is of contact type and M is not the 2-torus then the free time action functional of L+k satisfies the Palais-Smale condition.

研究动机与目标

• 建立在凸拉格朗日系统中，自由时间作用泛函在接触型能量水平上的Palais-Smale条件。
• 将周期轨道的存在性结果扩展至几乎所有能量水平，包括低能区域。
• 在万有覆盖空间中分析Mañé临界值以下的能量水平的共轭点。
• 解决低能区域下非紧性与Palais-Smale条件缺失的变分挑战。

提出的方法

• 在H^1类曲线的希尔伯特流形上，结合莫尔斯理论与山路几何，研究自由时间作用泛函。
• 应用Struwe论证的改编版本，证明几乎所有能量水平上存在Palais-Smale序列。
• 在能量水平为接触型且配置空间M ≠ 𝕋²的假设下，建立Palais-Smale条件。
• 利用闭1-形式在哈密顿向量场上作用非零的特征，刻画接触型能量水平。
• 使用严格临界值c₀(L)与Hofer-Zehnder容量，分析低能动力学。
• 应用Frauenfelder与Schlenk关于可平移集与有限容量的结果，证明在e₀(L)以下存在周期轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自由时间作用泛函在凸拉格朗日系统中满足Palais-Smale条件？
• RQ2 在非环面紧致流形上的均匀凸拉格朗日系统中，几乎所有能量水平是否都包含周期轨道？
• RQ3 在万有覆盖空间中，Mañé临界值以下的能量水平是否表现出共轭点？
• RQ4 何时一个紧致接触型能量水平成立，其与不变测度的性质有何关联？

主要发现

• 对于紧致流形M ≠ 𝕋²上的均匀凸拉格朗日系统，所有接触型能量水平对自由时间作用泛函均满足Palais-Smale条件。
• 几乎所有能量水平均包含周期轨道，结果扩展至低能区域。
• 在万有覆盖空间中，Mañé临界值cᵤ(L)以下的几乎所有能量水平均具有共轭点。
• 接触型能量水平的特征为：对所有零渐近循环的不变概率测度μ，均有A_{L+k}(μ) > 0。
• 临界值c₀(L)是满足对所有零渐近循环测度μ均有A_{L+k}(μ) ≥ 0的最小k值。
• 对于无磁场的凸拉格朗日系统，且满足θₓ = Lᵥ(x,0)的闭1-形式，每个能量水平均包含闭轨道；且正则水平为接触型当且仅当对所有零渐近循环测度μ，均有A_{L+k}(μ) > 0。