[论文解读] The Parameterized Complexity of Global Constraints

Christian Bessière, Emmanuel Hébrard+3 more|PolyPublie (École Polytechnique de Montréal)|Mar 3, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 30被引用 26

一句话总结

本文应用参数复杂性理论分析约束编程中全局约束的可解性。研究结果表明，当以不同值的数量或环切集为参数时，NValue、Disjoint 和 Roots 等约束是固定参数可解的（FPT），可通过动态规划或后备分解实现高效传播；同时证明，除非 FPT = W[2]，否则 NValue 的近似一致性是不可解的。

ABSTRACT

We argue that parameterized complexity is a useful tool with which to study global constraints. In particular, we show that many global constraints which are intractable to propagate completely have natural parameters which make them fixed-parameter tractable and which are easy to compute. This tractability tends either to be the result of a simple dynamic program or of a decomposition which has a strong backdoor of bounded size. This strong backdoor is often a cycle cutset. We also show that parameterized complexity can be used to study other aspects of constraint programming like symmetry breaking. For instance, we prove that value symmetry is fixed-parameter tractable to break in the number of symmetries. Finally, we argue that parameterized complexity can be used to derive results about the approximability of constraint propagation.

研究动机与目标

• 理解 NValue 和 AllDifferent 等全局约束难以求解的根源。
• 识别使原本难以求解的全局约束变为固定参数可解（FPT）的自然参数。
• 探索参数复杂性在对称性破缺（尤其是取值对称性）中的应用。
• 基于参数复杂性结果，推导约束传播近似可解性的限制。
• 基于循环切集、后备集等结构参数，指导新型搜索与传播算法的设计。

提出的方法

• 使用参数复杂性理论，分析以不同值数量或环切集大小等特定参数为基准时，全局约束的计算复杂性。
• 应用动态规划技术，当不同值数量较小时，实现 NValue 和 Roots 等约束的固定参数可解性。
• 识别强后备集（特别是环切集），实现基于分解的全局约束可解求解。
• 利用问题核（problem kernel）概念，将实例简化为更小但等价的形式，以实现高效处理。
• 借助 Bazgan 定理，证明若 NValue 存在高效的 PTAS，则意味着 FPT = W[2]，从而在标准复杂性假设下证明其不可近似性。
• 利用 W[1]- 和 W[2]- 硬度框架，对约束传播与对称性破缺的不可解性进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些参数可使难以求解的全局约束（如 NValue）变为固定参数可解？
• RQ2 参数复杂性能否用于设计全局约束的高效传播算法？
• RQ3 以对称性数量为参数时，取值对称性破缺是否为固定参数可解？
• RQ4 参数复杂性能否用于建立约束传播近似可解性的限制？
• RQ5 哪些结构特征（如环切集、后备集）可实现全局约束的可解分解？

主要发现

• NValue 约束在参数 N 的最大域大小上为 W[2]- 硬，表明除非 FPT = W[2]，否则完全域一致性是不可解的。
• 当以不同值数量为参数时，NValue、Disjoint 和 Roots 约束是固定参数可解的，可实现基于动态规划的高效传播。
• 环切集通常作为强后备集，支持基于分解的全局约束可解求解。
• 以对称性数量为参数时，取值对称性破缺是固定参数可解的，可实现高效的对称性约简。
• 除非 FPT = W[2]，否则无法为 NValue 约束设计高效的多项式时间近似方案（高效 PTAS），表明其存在根本性的不可近似性。
• 利用参数复杂性可构建混合传播器，根据参数大小在部分传播与完全传播之间动态切换。