[论文解读] The planar Least Gradient problem in convex domains

Piotr Rybka, Ahmad Sabra|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在具有$BV$边界数据的凸非严格凸区域中，建立了平面最小总变差问题解的存在性与唯一性。通过在平坦边界部分引入迹数据的容许性条件——特别是单调性与几何一致性——利用严格凸区域的逼近与BV紧致性下的极限过程，证明了解的存在性，将先前仅限于严格凸情形的结果推广至更一般的情形。

ABSTRACT

We study the two dimensional least gradient problem in a convex, but not necessary strictly convex region. We look for solutions in the space of $BV$ functions satisfying the boundary data $f$ in trace sense. We assume that $f$ is in $BV$ too. We state admissibility conditions on the trace and on the domain that are sufficient for existence of solutions.

研究动机与目标

• 解决凸非严格凸平面区域中最小总变差问题缺乏存在性结果的不足。
• 确定边界数据$f \in BV(\partial\Omega)$的充分条件，以保证$\min \int_\Omega |Du|$在迹$Tu = f$下的解存在。
• 将已知的严格凸区域与连续数据下的存在性结果，推广至具有不连续$BV$数据的凸区域。
• 为处理边界中存在无穷多个平坦部分的情况（假设仅有一个聚点）建立框架。
• 刻画非严格凸情形下最小总变差函数迹空间的特征。

提出的方法

• 通过在Hausdorff距离下收敛于$\Omega$的一系列严格凸区域$\Omega_n$，逼近凸非严格凸区域$\Omega$。
• 在$\partial\Omega_n$上构造逼近的连续边界数据$f_n$，使其收敛于$\partial\Omega$上的原始$f$，同时保持容许性。
• 利用Sternberg-Williams-Ziemer（2010）的经典存在性与唯一性结果，获得$\Omega_n$上最小总变差问题的连续解序列$v_n$。
• 建立$v_n$模连续性的统一有界性，以确保在$L^1$中的预紧性及迹的收敛性。
• 应用[9]中的迹延拓定理，通过极限过程得到$u \in BV(\Omega)$满足$Tu = f$的解。
• 对于不连续的$f$，通过上、下逼近序列$h_n$、$g_n$在$C(\partial\Omega)$中构造单调逼近，分别构造解$u_n$、$v_n$，并利用比较原理取极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凸非严格凸平面区域中，边界数据$f \in BV(\partial\Omega)$满足何种条件时，最小总变差问题存在解？
• RQ2 如何在缺乏严格凸性时，对平坦边界部分的容许性条件进行形式化，以确保解的存在性？
• RQ3 当边界包含无穷多个平坦部分且仅在一个点处聚点时，是否存在性结果仍成立？
• RQ4 当容许性条件被违反时，解会发生什么情况？是否可通过水平集的几何矛盾进行刻画？
• RQ5 在非严格凸区域中，最小总变差函数的迹结构与$L^1(\partial\Omega)$全空间有何不同？

主要发现

• 本文在边界数据$f \in C(\partial\Omega)$满足平坦部分的容许性条件（包括单调性与几何一致性）时，建立了凸区域中平面最小总变差问题解的存在性与唯一性。
• 对于$f \in BV(\partial\Omega)$，在相同容许性条件下，通过连续数据逼近与解的单调收敛性，证明了解的存在性。
• 容许性条件被证明是必要的：当条件被违反时，不存在解，该结论通过利用水平集的极小曲面性质进行反证法得到验证。
• 在存在无穷多个平坦边界部分的情况下，若这些部分仅在一个点处聚点且满足容许性条件，则解的存在性仍成立。
• 构造了一个反例：$f$为连续函数但违反容许性条件，证明由于水平集形成中的几何不一致，不存在解。
• 本文为处理非严格凸区域中不连续$BV$数据提供了构造性框架，扩展了已知存在性结果的适用范围。