[论文解读] The plane fixed point problem

Robbert Fokkink, John C. Mayer+2 more|ArXiv.org|May 8, 2008

Mathematics and Applications参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文為平面不动点问题中的基础结果提供了严格的证明，引入了映射在简单闭曲线上的‘变差’概念，并建立了关键恒等式：指标 = 变差 + 1。通过在非分离连通集的补集中使用双曲弦构造了端点理论，证明了无不动点映射存在唯一一条变差为−1的外通道，并将Bell的支柱定理推广至任意区域。核心贡献是针对平面中正向、完备映射的不动点定理，表明此类映射在任意不变的非分离连通集内必有不动点。

ABSTRACT

In this paper we present proofs of basic results, including those developed so far by H. Bell, for the plane fixed point problem. Some of these results had been announced much earlier by Bell but without accessible proofs. We define the concept of the variation of a map on a simple closed curve and relate it to the index of the map on that curve: Index = Variation + 1. We develop a prime end theory through hyperbolic chords in maximal round balls contained in the complement of a non-separating plane continuum $X$. We define the concept of an {\em outchannel} for a fixed point free map which carries the boundary of $X$ minimally into itself and prove that such a map has a \emph{unique} outchannel, and that outchannel must have variation $=-1$. We also extend Bell's linchpin theorem for a foliation of a simply connected domain, by closed convex subsets, to arbitrary domains in the sphere. We introduce the notion of an oriented map of the plane. We show that the perfect oriented maps of the plane coincide with confluent (that is composition of monotone and open) perfect maps of the plane. We obtain a fixed point theorem for positively oriented, perfect maps of the plane. This generalizes results announced by Bell in 1982 (see also \cite{akis99}). It follows that if $X$ is invariant under an oriented map $f$, then $f$ has a point of period at most two in $X$.

研究动机与目标

• 为H. Bell此前宣布但未提供完整证明的平面不动点问题中的基础结果，提供易于理解且完整的证明。
• 通过恒等式 指标 = 变差 + 1，建立映射在简单闭曲线上指标与变差之间的联系。
• 基于非分离连通集补集中最大圆球内的双曲弦，发展一种端点理论。
• 证明无不动点且边界映射最小化的连通集的映射，其外通道存在且唯一，且其变差为−1。
• 将Bell的支柱定理推广至球面上的任意区域，并将不动点结果扩展至平面中正向、完备映射。

提出的方法

• 引入并形式化映射在简单闭曲线上变差的概念，通过恒等式 指标 = 变差 + 1 将其与指标关联。
• 在非分离连通集X的补集中，利用包含于其中的最大圆球内的双曲测地线，构造端点理论。
• 为最小将∂X映射到自身的无不动点映射定义外通道，证明其唯一且变差为−1。
• 将Kulkarni-Pinkall的剖分方法适配至平面，利用最大圆球中的双曲几何分析X补集的结构。
• 通过Kulkarni-Pinkall方法，将Bell的支柱定理从单连通区域的叶状覆盖推广至球面上的任意区域。
• 定义平面的正向映射，证明其与收敛完备映射一致，并由此得出此类映射在不变非分离连通集上必有不动点的不动点定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面上，映射在简单闭曲线上指标与变差之间的精确关系是什么？
• RQ2 如何基于非分离连通集补集中最大圆球内的双曲弦构造端点理论？
• RQ3 每个最小将非分离连通集边界映射到自身的无不动点映射是否都存在唯一外通道，其变差是多少？
• RQ4 Bell关于单连通区域叶状覆盖的支柱定理能否推广至球面上的任意区域？
• RQ5 平面中正向、完备映射是否总在任意不变非分离连通集中有不动点？

主要发现

• 严格证明了在简单闭曲线上映射的恒等式 指标 = 变差 + 1，为拓扑不变量与几何不变量之间建立了根本联系。
• 对于最小将∂X映射到自身的无不动点映射，其外通道被唯一定义，且变差恰好为−1。
• 将Kulkarni-Pinkall剖分方法适配至平面，实现了基于双曲几何的最大圆球内端点理论的构建。
• 通过Kulkarni与Pinkall的精巧论证，将Bell的支柱定理从单连通区域推广至球面上的任意区域。
• 证明了平面的完备定向映射与收敛映射一致，且此类映射在任意不变非分离连通集中必有不动点。
• 由此可得，平面中任意收敛映射在任意非分离不变子连通集中必有周期至多为2的点。