[论文解读] The Poisson Channel at Low Input Powers

Amos Lapidoth, Jeffrey H. Shapiro+2 more|ArXiv.org|Oct 20, 2008

Cellular Automata and Applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文分析了在低输入功率下具有恒定非零暗电流的泊松信道的渐近容量。通过利用泊松分布的性质以及基于对偶的信道容量上界，推导出互信息的上下界，证明了当能量 $\mathcal{E} \to 0$ 时，信道容量以 $\mathcal{E} \log \frac{1}{\mathcal{E}}$ 的形式增长，且预因子趋近于 1，确认在峰值和平均功率约束下容量渐近最优。

ABSTRACT

The asymptotic capacity at low input powers of an average-power limited or an average- and peak-power limited discrete-time Poisson channel is considered. For a Poisson channel whose dark current is zero or decays to zero linearly with its average input power $E$, capacity scales like $E\log\frac{1}{E}$ for small $E$. For a Poisson channel whose dark current is a nonzero constant, capacity scales, to within a constant, like $E\log\log\frac{1}{E}$ for small $E$.

研究动机与目标

• 表征在存在恒定非零暗电流的低输入功率条件下泊松信道容量的渐近行为。
• 在能量 $\mathcal{E} \to 0$ 时，建立信道容量的紧致上下界。
• 证明容量标度中的预因子趋近于 1，表明其具有渐近最优性能。
• 通过互信息分解和基于对偶的容量上界验证所建立的界。

提出的方法

• 利用泊松分布的性质和 $\mathcal{E} \to 0$ 时的渐近分析，推导出互信息 $I_0(\lambda, \zeta, p)$ 的下界。
• 通过泊松概率质量函数的比值和对数不等式，建立对 $I_1(\lambda, \zeta, p)$ 的第二个下界。
• 将两个下界与一般容量下界结合，推导出 $\varliminf_{\mathcal{E} \downarrow 0} \frac{C(c\mathcal{E}, \mathcal{E}, \mathcal{A})}{\mathcal{E} \log \frac{1}{\mathcal{E}}} \geq \frac{1 - e^{-\zeta}}{\zeta}$。
• 通过使用基于对偶的容量上界 $D(W(\cdot|x) \| R(\cdot))$ 的散度，推导出 $\tilde{C}(0, \mathcal{E}, \mathcal{A})$ 的上界。
• 构造一个特定的输出分布 $\tilde{R}(\tilde{y})$，其由均匀分布和伽马分布成分组成，以界定散度并推导出上界极限。
• 应用连续输出泊松信道模型，并通过其与离散情形的等价性，简化渐近分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恒定非零暗电流下，当输入能量 $\mathcal{E} \to 0$ 时，泊松信道容量的渐近标度是什么？
• RQ2 容量标度中的预因子能否被从下方有界，并证明其趋近于 1？
• RQ3 在低功率约束下，互信息项 $I_0$ 和 $I_1$ 的渐近行为如何？
• RQ4 在低功率区域，信道容量的最紧致可达上界是什么？
• RQ5 输出分布 $R(\cdot)$ 的选择如何影响基于对偶的容量上界？

主要发现

• 渐近容量的下界满足 $\varliminf_{\mathcal{E} \downarrow 0} \frac{C(c\mathcal{E}, \mathcal{E}, \mathcal{A})}{\mathcal{E} \log \frac{1}{\mathcal{E}}} \geq \frac{1 - e^{-\zeta}}{\zeta}$，对所有 $\zeta \in (0, \mathcal{A}]$ 成立。
• 通过选择任意小的 $\zeta > 0$，下界右侧可无限接近于 1，意味着容量的预因子趋近于 1。
• 连续输出泊松信道容量的上界满足 $\varlimsup_{\mathcal{E} \downarrow 0} \frac{\tilde{C}(0, \mathcal{E}, \mathcal{A})}{\mathcal{E} \log \frac{1}{\mathcal{E}}} \leq 1$，确认了上界极限。
• 基于对偶的上界通过精心构造的输出分布（包含均匀成分和伽马分布尾部）得以实现。
• 分析表明，互信息下界与基于对偶的上界收敛于相同的渐近标度，验证了 $\mathcal{E} \log \frac{1}{\mathcal{E}}$ 法律的最优性。
• 结果在平均功率和峰值功率约束下均成立，且暗电流被建模为恒定非零偏移。