[论文解读] The primitive spectrum and category O for the periplectic Lie superalgebra

Chih-Whi Chen, Kevin Coulembier|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文解决了关于广义正交李超代数 𝔭𝔢(n) 表示理论中的两个核心问题：首先，建立了范畴 𝒪 与一类具有左 𝔭𝔢(n)-作用和右 𝔤0-作用的哈里什-钱德拉双模之间的新颖等价关系，从而通过扭 functor 描述了本原谱；其次，证明了 BGG 对偶性定理，进而实现了范畴 𝒪 的完整块分解。关键结果是通过扭 functor 的组合学与 Weyl 群作用，对 𝔭𝔢(2) 的本原谱进行了完整分类。

ABSTRACT

We solve two problems in representation theory for the periplectic Lie superalgebra pe(n), namely the description of the primitive spectrum in terms of functorial realisations of the braid group and the decomposition of category O into indecomposable blocks. To solve the first problem we establish a new type of equivalence between category O for all (not just simple or basic) classical Lie superalgebras and a category of Harish-Chandra bimodules. The latter bimodules have a left action of the Lie superalgebra but a right action of the underlying Lie algebra. To solve the second problem we establish a BGG reciprocity result for the periplectic Lie superalgebra.

研究动机与目标

• 通过 braid 群的函子实现，描述广义正交李超代数 𝔭𝔢(n) 的本原谱。
• 将 𝔭𝔢(n) 的范畴 𝒪 分解为不可约块。
• 为所有经典李超代数（包括非基本型如 𝔭𝔢(n)）建立范畴 𝒪 与一类哈里什-钱德拉双模之间的新等价关系。
• 证明 𝔭𝔢(n) 的 BGG 对偶性结果，从而实现范畴 𝒪 中的块分解。

提出的方法

• 引入一类新的哈里什-钱德拉双模，其左作用为李超代数作用，右作用为基底李代数 𝔤0 的作用。
• 为所有经典李超代数建立范畴 𝒪 与该类双模范畴之间的等价关系，将已知结果推广至非基本或非简单情形。
• 利用范畴 𝒪 上的完备化 functor 与扭 functor 来控制本原谱，表明其组合学结构编码了单模的零化子理想。
• 证明对于具有对偶性的 I 型李超代数，扭 functor 与完备化 functor 在共轭意义下同构，推广了已知结果。
• 对 𝔭𝔢(n) 中的 Verma 模（即使非典型）应用广义版本的 Kostant 问题，以构造双模等价关系。
• 利用“伪卡西米尔算子”分解平移 functor，并证明 BGG 对偶性，从而实现范畴 𝒪 中的块分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于 𝔭𝔢(n) 缺乏典型模且结构非基本，如何通过函子作用描述其本原谱？
• RQ2 对于非基本经典李超代数（如 𝔭𝔢(n)），应如何推广哈里什-钱德拉双模，以实现与范畴 𝒪 的等价关系？
• RQ3 完备化与扭 functor 在范畴 𝒪 上如何控制 𝔭𝔢(n) 的本原谱？其与 Weyl 群及 braid 群作用的关系为何？
• RQ4 是否可为 𝔭𝔢(n) 建立 BGG 对偶性？其如何促进范畴 𝒪 的块分解？
• RQ5 特定情形 𝔭𝔢(2) 的本原谱与块分解的显式结构为何？包括特征公式与哈塞图。

主要发现

• 𝔭𝔢(2) 的本原谱通过扭 functor T 作用于单最高权模完全描述：当 λ₁−λ₂ 非整数时，T(Lλ) = Ls·λ；当非负整数时，T(Lλ) = 0；当 λ₂ = λ₁+1 时，T(Lλ) = Lλ；当 λ₂ = λ₁+2 时，ch(TLλ) = chLλ + chLs·λ + chLs·λ−ω。
• 当 λ₂ > λ₁+2 时，TLλ 的特征为 chLλ + chLs·λ，表明扭 functor 在非整数与非正则权上非平凡作用。
• 𝔭𝔢(2) 的本原谱由四个连通分支构成：(i) 非整数权差的对；(ii) 权满足 λ₁ = λ₂ 的单点；(iii) 对于 i ∈ ℤ，索引为 (a+i, a+i) 与 (a+i, a+i+2) 的链；(iv) 严格包含关系 J(a−1,a+k+1) ⊂ J(a+k,a)，其中 k > 0。
• 𝔭𝔢(2) 的范畴 𝒪 的块分解通过 BGG 对偶性与伪卡西米尔算子确定，表明通用块为 Koszul 块，且非整数块与 𝔭𝔢(1)⊕𝔭𝔢(1) 的范畴 𝒪 中的整数块等价。
• 对于 I 型李超代数，证明了扭 functor 与完备化 functor 在对偶性共轭意义下同构，推广了已知结果，并使得本原谱可通过扭 functor 描述。
• 通过将 Kostant 问题推广至非典型 Verma 模，为所有经典李超代数（包括非基本型）构造了范畴 𝒪 与哈里什-钱德拉双模范畴之间的新等价关系。