[论文解读] The principle of stationary nonconservative action for classical mechanics and field theories

Chad R. Galley, David Tsang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 10被引用 27

一句话总结

本文提出了一种经典力学与场论的非保守作用量变分原理，将哈密顿最小作用量原理扩展至包含耗散和辐射反作用等时间不可逆过程。通过加倍自由度并引入非保守势 $K$，该形式化方法推导出包含非保守力的运动方程，同时将诺特定理推广至非保守系统，表明对称性导致修正后的非守恒流。

ABSTRACT

We further develop a recently introduced variational principle of stationary action for problems in nonconservative classical mechanics and extend it to classical field theories. The variational calculus used is consistent with an initial value formulation of physical problems and allows for time-irreversible processes, such as dissipation, to be included at the level of the action. In this formalism, the equations of motion are generated by extremizing a nonconservative action $\mathcal{S}$, which is a functional of a doubled set of degrees of freedom. The corresponding nonconservative Lagrangian contains a potential $K$ which generates nonconservative forces and interactions. Such a nonconservative potential can arise in several ways, including from an open system interacting with inaccessible degrees of freedom or from integrating out or coarse-graining a subset of variables in closed systems. We generalize Noether's theorem to show how Noether currents are modified and no longer conserved when $K$ is non-vanishing. Consequently, the nonconservative aspects of a physical system are derived solely from $K$. We show how to use the formalism with examples of nonconservative actions for discrete systems including forced damped harmonic oscillators, radiation reaction on an accelerated charge, and RLC circuits. We present examples for nonconservative classical field theories. Our approach naturally allows for irreversible thermodynamic processes to be included in an unconstrained variational principle. We present the nonconservative action for a Navier-Stokes fluid including the effects of viscous dissipation and heat diffusion, as well as an action that generates the Maxwell model for viscoelastic materials, which can be easily generalized to more realistic rheological models. We show that the nonconservative action can be derived as the classical limit of a more complete quantum theory.

研究动机与目标

• 将哈密顿最小作用量原理扩展至非保守系统，包括阻尼与粘性耗散等不可逆过程。
• 构建与初值问题及时间不可逆动力学相容的一致变分框架。
• 通过展示当 $K \neq 0$ 时对称性导致修正的非守恒流，将诺特定理推广至非保守系统。
• 在离散系统（如阻尼谐振子、RLC 电路）与经典场论（如纳维-斯托克斯流体、粘弹性材料）中演示该形式化方法。
• 建立非保守作用量与量子场论非平衡经典极限之间的基本联系，特别是通过 in-in 形式化与影响作用量。

提出的方法

• 引入一组加倍的自由度 $(q, q')$，以在变分框架中描述时间不可逆过程。
• 定义非保守作用量 $\mathcal{S}[q, q'] = S[q] - S[q'] + \text{Re}[S_{\text{infl}}[q, q']]$，其中影响作用量的实部编码了非保守势 $K$。
• 利用非平衡量子场论中的影响作用量推导 $K$，表明 $K$ 源于粗粒化或与不可及自由度的耦合。
• 通过对 $q$ 和 $q'$ 变分极值化 $\mathcal{S}$，推导出非保守的欧拉-拉格朗日方程。
• 通过展示守恒流受 $K$ 修正且在 $K \neq 0$ 时不再守恒，推广诺特定理。
• 将该形式化方法应用于物理系统：阻尼振子、辐射反作用、RLC 电路、纳维-斯托克斯流体，以及通过麦克斯韦模型描述的粘弹性材料。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为包含耗散与阻尼等不可逆过程的非保守经典系统建立变分原理？
• RQ2 非保守势 $K$ 能否从基本量子理论中推导得出，特别是通过 in-in 形式化中的影响作用量？
• RQ3 在非保守力存在时，诺特定理如何推广？守恒量发生了什么变化？
• RQ4 该形式化方法能否描述具有非保守行为的古典场论，如粘性流体或粘弹性材料？
• RQ5 导致具有明确 $K$ 的非保守作用量的非平衡量子理论的古典极限是什么？

主要发现

• 非保守作用量 $\mathcal{S}[q, q']$ 被推导为非平衡量子场论中影响作用量的古典极限，其中 $K = \text{Re}[S_{\text{infl}}[q, q']]$。
• 该形式化方法通过引入生成应力张量与热扩散的非保守势 $K$，自然地包含了纳维-斯托克斯流体中的粘性耗散。
• 对于粘弹性材料，该形式化方法通过非保守作用量导出麦克斯韦模型，且可推广至更复杂的流变学模型。
• 非保守势 $K$ 源于粗粒化或与不可及自由度的耦合，为非保守力提供了物理解释。
• 诺特流受 $K$ 修正，且在 $K \neq 0$ 时不再守恒，表明非保守效应被完全编码于 $K$ 中。
• 在密度矩阵的 $\hbar \to 0$ 极限下，通过驻定相位近似可得到经典非保守作用量 $\mathcal{S}$，确认其与量子理论古典极限的一致性。