[论文解读] The rational Heun operator and Wilson biorthogonal functions

Satoshi Tsujimoto, Luc Vinet+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2019

Mathematical functions and polynomials参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文引入了有理 Heun 算子，作为在 Askey-Wilson 网格上将有理函数类型从 $[(n-1)/n]$ 提升至 $[n/(n+1)]$ 的最一般二阶 $q$-差分算子。它建立了该算子与退化 Ruijsenaars-van Diejen 哈密顿量 $A^{(1)}$ 的直接联系，并证明了类型为 ${}_{10}\text{H}_9$ 的 Wilson 双正交函数是涉及这些经典有理 Heun 算子的广义特征值问题的解。

ABSTRACT

We consider the rational Heun operator defined as the most general second-order $q$-difference operator which sends any rational function of type $[(n-1)/n]$ to a rational function of type $[n/(n+1)]$. We shall take the poles to be located on the Askey-Wilson grid. It is shown that this operator is related to the one-dimensional degeneration of the Ruijsenaars-van Diejen Hamiltonians. The Wilson biorthogonal functions of type ${_{10}}Φ_9$ are found to be solutions of a generalized eigenvalue problem involving rational Heun operators of the special "classical" kind.

研究动机与目标

• 通过有理函数在 Askey-Wilson 格点上提升次数的性质，定义并表征有理 Heun 算子。
• 建立有理 Heun 算子与 Ruijsenaars-van Diejen 哈密顿量的一体化退化形式 $A^{(1)}$ 之间的联系。
• 识别出类型为 ${}_{10}\text{H}_9$ 的 Wilson 双正交有理函数作为涉及经典有理 Heun 算子的广义特征值问题的解。
• 将 $q$-Heun 算子的框架从正交多项式扩展到有理函数，从而拓宽离散 Heun 理论的适用范围。

提出的方法

• 将有理 Heun 算子 $W$ 定义为作用于在 Askey-Wilson 网格上具有极点的类型 $[(n-1)/n]$ 有理函数的二阶 $q$-差分算子。
• 使用 8 个参数显式构造该算子，并证明其在有理基上作用为三对角形式。
• 证明算子 $W$ 与 Takemura 的 $A^{(1)}$ 哈密顿量仅相差一个在指定 $ ilde{x}_0$ 处具有极点的简单 $[0/1]$ 有理函数，从而完全表征了 $A^{(1)}$ 作为有理函数上的次数提升算子。
• 引入“经典”有理 Heun 算子的概念，其保持有理函数类型 $[n/n]$ 的同时，将极点从 $x_1,\dots,x_n$ 移动至 $x_2,\dots,x_{n+1}$。
• 制定涉及一对经典 Heun 算子 $\hat{\mathcal{W}}$ 和 $\hat{\mathcal{Y}}$ 的广义特征值问题（GEVP），并证明有理基 $\omega_n(x)$ 构成 $\hat{\mathcal{W}}$ 的双对角基。
• 利用双对角结构，显式构造广义特征值问题的有理特征解，证明类型为 ${}_{10}\Phi_9$ 的 Wilson 双正交函数是解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义在 Askey-Wilson 格点上将类型为 $[(n-1)/n]$ 的有理函数提升至 $[n/(n+1)]$ 的最一般二阶 $q$-差分算子？
• RQ2 该有理 Heun 算子与退化 Ruijsenaars-van Diejen 哈密顿量 $A^{(1)}$ 之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否证明类型为 ${}_{10}\Phi_9$ 的 Wilson 双正交有理函数是涉及经典有理 Heun 算子的广义特征值问题的解？
• RQ4 经典有理 Heun 算子如何在保持有理函数类型 $[n/n]$ 的同时实现极点的移动？其背后的代数结构是什么？
• RQ5 双对角基在此类广义特征值问题的显式解构造中起什么作用？

主要发现

• 有理 Heun 算子被完全表征为作用于在 Askey-Wilson 网格上具有极点的有理函数的二阶 $q$-差分算子，具有 8 个参数，并在基上作用为三对角形式。
• 算子 $W$ 与 Takemura 的 $A^{(1)}$ 哈密顿量仅相差一个在指定 $\tilde{x}_0$ 处具有极点的 $[0/1]$ 有理函数，从而完全表征了 $A^{(1)}$ 作为有理函数上的次数提升算子。
• 经典有理 Heun 算子被定义为在保持有理函数类型 $[n/n]$ 的同时，将极点从 $x_1,\dots,x_n$ 移动至 $x_2,\dots,x_{n+1}$ 的算子，且其在有理基 $\omega_n(x)$ 上作用为三对角形式。
• 广义特征值问题 $\hat{\mathcal{W}}R_n(x) = \lambda_n \hat{\mathcal{Y}}R_n(x)$ 被显式求解，其中 $R_n(x)$ 为类型为 ${}_{10}\Phi_9$ 的 Wilson 双正交有理函数，且 $\hat{\mathcal{W}}$ 的双对角结构被推导出来。
• 经典 Heun 算子 $\hat{\mathcal{W}}$ 的特征值 $\mu_n$ 和 $\nu_n$ 以参数 $\varepsilon_j$ 显式表示，确认了其在基 $\omega_n(x)$ 上的双对角作用。
• 当 $\hat{\mathcal{Y}}$ 由 $\hat{\mathcal{W}}$ 通过参数替换 $\varepsilon_j \to \delta_j$（满足 $\varepsilon_1 = \delta_1$，$\varepsilon_{23456} = \delta_{23456}$）得到时，广义特征值问题具有显式有理特征解，表明基 $\omega_n(x)$ 同时属于 $\hat{\mathcal{W}}$ 和 $\hat{\mathcal{Y}}$。