[论文解读] The recurrence time in quantum mechanics

Lorenzo Campos Venuti|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用 28

一句话总结

本文对通用非可积量子系统中的复发时间进行了近乎精确的计算，表明其随系统体积呈双指数增长，受能量尺度和有效维度的支配。对于可积系统，复发时间仅随体积呈指数依赖，而在量子临界点附近进行微小淬火可使复发时间降至近乎与尺寸无关的、实验可观测的水平。

ABSTRACT

Generic quantum systems --as much as their classical counterparts-- pass arbitrarily close to their initial state after sufficiently long time. Here we provide an essentially exact computation of such recurrence times for generic non-integrable quantum models. The result is a universal function which depends on just two parameters, an energy scale and the effective dimension of the system. As a by-product we prove that the density of orthogonalization times is zero if at least nine levels are populated and connections with the quantum speed limit are discussed. We also extend our results to integrable, quasi-free fermions. For generic systems the recurrence time is generally doubly exponential in the system volume whereas for the integrable case the dependence is only exponential. The recurrence time can be decreased by several orders of magnitude by performing a small quench close to a quantum critical point. This setup may lead to the experimental observation of such \emph{fast} recurrences.

研究动机与目标

• 推导通用非可积量子系统中平均复发时间的近乎精确公式。
• 理解复发时间如何依赖于系统尺寸、能量尺度和有效希尔伯特空间维度。
• 探究在量子临界点附近进行微小淬火是否能显著缩短复发时间。
• 将分析扩展至可积的准自由费米子系统，并比较其复发动力学。
• 确定在离子阱等量子平台中，此类快速复发可被实验观测的条件。

提出的方法

• 利用保真度衰减形式，通过初始态与时间演化态之间的重叠计算复发时间。
• 应用一个含两个参数的通用函数：能量尺度 $ J $ 和有效维度 $ d_{\text{eff}} $，得出 $ T_R \sim (\hbar/J)e^{ue^{S}} $，其中 $ S $ 为冯诺依曼熵。
• 推导出非可积系统的复发时间标度为体积的双指数函数：$ T_R \sim e^{ue^{\alpha V}} $。
• 对于可积系统，利用含近邻相互作用的一维横场伊辛模型的精确解，计算保真度与复发时间。
• 引入一种微小淬火协议，通过略微改变参数，降低有效希尔伯特空间维度，从而缩短复发时间。
• 分析临界区域 $ \xi(\lambda_i) \gg L $，表明复发时间趋于近乎与尺寸无关，并可实验观测。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通用非可积量子系统中，复发时间对系统尺寸和能量尺度的精确函数依赖关系是什么？
• RQ2 非可积与可积量子模型之间的复发时间有何差异？
• RQ3 在量子临界点附近进行微小淬火是否能显著缩短复发时间？如果是，其机制是什么？
• RQ4 有效希尔伯特空间维度在决定复发时间标度中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，孤立量子系统中的复发时间可成为实验可观测的？

主要发现

• 对于通用非可积量子系统，复发时间随系统体积呈双指数增长：$ T_R \sim (\hbar/J)e^{ue^{\alpha V}} $，其中 $ \alpha > 0 $。
• 复发时间可良好近似为 $ T_R \sim (\hbar/J)e^{ue^{S}} $，其中 $ S $ 为平衡态的冯诺依曼熵。
• 对于可积系统（如一维横场伊辛模型），复发时间仅随体积呈指数增长。
• 在量子临界点附近进行微小淬火，可使有效希尔伯特空间维度降低至 $ \sim 2-3 $，导致复发时间近乎与尺寸无关。
• 微小淬火后的复发时间标度为 $ T_R \sim e^{u\delta\lambda^2 cV} $，可实现数个数量级的缩短。
• TAM哈密顿量的数值模拟证实，在量子临界点附近，复发时间出现急剧下降，尤其在非可积情况下更为显著。