[论文解读] The regularizing effects of some lower order terms in an elliptic equation with degenerate coercivity

Gisella Croce|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 15被引用 34

一句话总结

本文研究了退化强 coerc性椭圆方程中低阶项的正则化效应，表明即使主算子不具有一致强 coercivity，此类项仍能确保解的存在性及更高的可积性。在低阶项与数据属于 $ L^m(Ω) $ 的适当假设下，作者建立了 $ H^1_0(Ω) \cap L^\infty(\Omega) $ 中熵解与分布解的存在性，且其界与数据无关。

ABSTRACT

In this article we study an elliptic problem with degenerate coercivity. We will show that the presence of some lower order terms has a regularizing effect on the solutions.

研究动机与目标

• 分析在标准强 coercivity 失效的退化强 coercivity 椭圆问题中，低阶项的正则化效应。
• 在数据弱假设下建立解的存在性，特别是当 $ f \in L^m(\Omega) $ 且 $ m \geq 1 $ 时，存在退化强 coercivity 的情形。
• 证明当低阶项 $ h(u) $ 在 $ \sigma $ 处具有垂直渐近线时，解满足 $ u \leq \sigma - \varepsilon $ 几乎处处成立，且该界与 $ f $ 无关。
• 当解可能不属于标准 Sobolev 空间时，将存在性结果推广至熵解。
• 证明即使主算子不具有一致强 coercivity，解仍属于 $ H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $。

提出的方法

• 使用截断低阶项 $ h_n(u) $ 的逼近问题，其中 $ h_n $ 有界且单调递增，以确保 $ H^1_0(\Omega) $ 中解的存在性。
• 通过测试函数 $ (u_n - h^{-1}(\|f\|_\infty))^+ $ 应用上下解方法，推导出 $ u_n $ 的一致 $ L^\infty $ 估计。
• 利用退化强 coercivity 假设 $ a(x,s) \geq \alpha / (1+|s|)^\gamma $ 建立一致 $ H^1_0 $-范数估计，确保逼近序列的弱收敛性。
• 通过 $ h(u_n) $ 的等度可积性，在弱形式中取极限，依赖于当 $ s \to \sigma $ 时 $ |\{s \leq u_n < \sigma\}| \to 0 $ 的事实。
• 使用熵解定义处理可能不属于 $ W^{1,1}_0(\Omega) $ 的解，依赖于截断 $ T_k(u) $ 与弱梯度。
• 利用 $ h(s) $ 在 $ \sigma $ 处具有垂直渐近线的结构，通过能量估计获得 $ u \leq \sigma - \varepsilon $ 几乎处处成立，且该界与 $ f $ 无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有垂直渐近线的低阶项是否能正则化退化强 coercivity 椭圆方程的解？
• RQ2 当低阶项 $ h(u) $ 满足 $ h(s) \to \infty $ 当 $ s \to \sigma $ 时，是否能保证即使 $ f \in L^m(\Omega) $，$ m \geq 1 $，解仍为有界？
• RQ3 当解因退化强 coercivity 而不属于 $ W^{1,1}_0(\Omega) $ 时，能否建立熵解的存在性？
• RQ4 退化强 coercivity 参数 $ \gamma \in (0,1] $ 在决定解的可积性与正则性方面起什么作用？
• RQ5 在逼近问题中，对 $ h(u) $ 使用截断技术并引入 $ T_n(f) $，如何确保收敛至 $ H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ 中的解？

主要发现

• 当 $ f \in L^\infty(\Omega) $ 时，问题在 $ H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ 中存在分布解 $ u $，且满足 $ 0 \leq u(x) \leq \sigma - \varepsilon $ 几乎处处在 $ \Omega $ 中，且该界与 $ f $ 无关。
• 解 $ u $ 几乎处处满足 $ u \leq \sigma $，且由于 $ h(s) $ 的结构，该界对所有 $ f \in L^m(\Omega) $，$ m \geq 1 $ 均一致成立。
• 逼近解序列 $ u_n $ 在 $ H^1_0(\Omega) $ 中弱收敛且在 $ \Omega $ 几乎处处收敛，从而保证极限解 $ u \in H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ 的存在性。
• $ h(u_n) $ 是等度可积的，这使得可在弱形式中取极限，并证明 $ h(u_n) \to h(u) $ 在 $ L^1(\Omega) $ 中成立。
• 解 $ u $ 是熵解，即使 $ \nabla u \notin L^1(\Omega) $，仍满足带截断 $ T_k(u - \varphi) $ 的弱形式。
• 退化强 coercivity $ a(x,s) \geq \alpha / (1+|s|)^\gamma $，其中 $ \gamma \in (0,1] $，与 $ h(u) $ 的正则化效应相容，即使缺乏一致强 coercivity，也能保证解的存在性与有界性。