[论文解读] The Representation Theory of Co-triangular Semisimple Hopf Algebras

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文明确定義了共三角半單 Hopf 代數 A* = (C[G]^J)* 的表示理論，其中 C[G]^J 為扭轉群代數，並透過與相關有限群的表示理論建立關聯，來描述其不可約表示。關鍵結果為證明 Kaplansky 的第 6 條猜想對 A* 成立，即 A* 的任何不可約表示之維度皆整除 A 的維度。

ABSTRACT

In a previous paper we prove that any semisimple triangular Hopf algebra A over an algebraically closed field of characteristic 0 (say the field of complex numbers C) is obtained from a finite group after twisting the ordinary comultiplication of its group algebra in the sense of Drinfeld; that is A=C[G]^J for some finite group G and a twist J\in C[G]\ot C[G]. In this paper we explicitly describe the representation theory of co-triangular semisimple Hopf algebras A^*=(C[G]^J)^* in terms of representations of some associated groups. As a corollary we prove that Kaplansky's 6th conjecture from 1975 holds for A^*; that is that the dimension of any irreducible representation of A^* divides the dimension of A.

研究动机与目标

• 以有限群的表示理論來描述共三角半單 Hopf 代數 A* = (C[G]^J)* 的表示理論。
• 建立 A* 的不可約表示與由扭轉 J 所產生之相關有限群的表示之間的具體關聯。
• 驗證 Kaplansky 的第 6 條猜想對 A* 成立，即 A* 的任何不可約表示之維度皆整除 A 的維度。
• 將先前關於半單三角 Hopf 代數的結果延伸至其對偶，專注於共三角情形。

提出的方法

• 利用 A = C[G]^J 與 A* = (C[G]^J)* 之間的對偶性，其中 A 為扭轉群代數。
• 應用 Drinfeld 扭轉理論，分析 A* 作為扭轉群代數對偶 Hopf 代數的結構。
• 透過群論構造，將 A* 的表示理論簡化為有限群的表示理論。
• 運用 A* 的不可約表示對應於群 G 的某類表示、經由扭轉 J 修飾的事實。
• 利用先前研究中已知的半單三角 Hopf 代數結構，分析其對偶的共三角情形。
• 利用在特徵 0 時，半單 Hopf 代數由其表示類別完全決定的事實，使分類得以透過群資料實現。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以有限群表示理論來描述共三角半單 Hopf 代數的表示理論？
• RQ2 扭轉群代數 (C[G]^J)* 的對偶結構為何？其與群論資料有何關聯？
• RQ3 Kaplansky 的第 6 條猜想——即任何不可約表示之維度皆整除代數維度——是否對 A* 成立？
• RQ4 Drinfeld 扭轉 J 如何影響對偶 Hopf 代數 A* 的表示理論？
• RQ5 A* 的不可約表示能否從基底群 G 的表示明確構造出來？

主要发现

• A* = (C[G]^J)* 的表示理論可完全以與扭轉 J 相關之有限群的表示理論來描述。
• A* 的不可約表示與群 G 的某類不可約表示之間存在一一對應，且這些表示經由扭轉 J 修飾。
• A* 的每一個不可約表示之維度皆整除 A 的維度，從而確認此類 Hopf 代數的 Kaplansky 第 6 條猜想成立。
• 該結果在代數閉包特徵 0 的域（如複數）上成立。
• 該構造透過群論資料，提供了 A* 不可約表示的完整分類。
• A = C[G]^J 與 A* = (C[G]^J)* 之間的對偶性保持半單性，並允許表示性質的傳遞。