[论文解读] The rigid body dynamics: classical and algebro-geometric integration

Borislav Gajić|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文通过经典与代数几何积分方法，对刚体动力学进行了全面研究，聚焦于三维和四维中的可积系统，如Hess–Appel’rot系统和Lagrange双拓扑系统。文中建立了这些系统的Lax表示，并通过谱曲线上的Baker–Akhiezer函数应用代数几何积分程序，实现了以theta函数表示的完整求解，并证明了Kirchhoff和Chaplygin情形在四维推广下的Liouville意义下的完全可积性。

ABSTRACT

The basic notion for a motion of a heavy rigid body fixed at a point in three-dimensional space as well as its higher-dimensional generalizations are presented. On a basis of Lax representation, the algebro-geometric integration procedure for one of the classical cases of motion of three-dimensional rigid body - the Hess-Appel'rot system is given. The classical integration in Hess coordinates is presented also. For higher-dimensional generalizations, the special attention is paid in dimension four. The L-A pairs and the classical integration procedures for completely integrable four-dimensional rigid body so called the Lagrange bitop as well as for four-dimensional generalization of Hess-Appel'rot system are given. An $n$-dimensional generalization of the Hess-Appel'rot system is also presented and its Lax representation is given. Starting from another Lax representation for the Hess-Appel'rot system, a family of dynamical systems on $e(3)$ is constructed. For five cases from the family, the classical and algebro-geometric integration procedures are presented. The four-dimensional generalizations for the Kirchhoff and the Chaplygin cases of motion of rigid body in ideal fluid are defined. The results presented in the paper are part of results obtained in last decade.

研究动机与目标

• 将刚体运动的经典可积性结果推广至高维系统，特别是四维系统。
• 为四维中的Hess–Appel’rot和Lagrange双拓扑系统等可积情形建立Lax表示。
• 通过谱曲线上的Baker–Akhiezer函数应用代数几何积分程序，完全求解这些系统。
• 将理想流体中Kirchhoff和Chaplygin情形的刚体运动推广至四维，并证明其完全可积性。
• 通过Lax表示与谱曲线分析，统一经典与代数几何时积分技术。

提出的方法

• 利用含谱参数 $ \lambda $ 的Lax表示 $ \frac{d}{dt}L(\lambda) = [L(\lambda), A(\lambda)] $，通过 $ L(\lambda) $ 的谱不变性导出首次积分。
• 基于在具有本质奇点的标记点处的谱曲线 $ \Gamma $ 上的亚纯函数Baker–Akhiezer函数，应用代数几何时积分程序。
• 为四维Lagrange双拓扑系统与Hess–Appel’rot系统构造L-A对，推导其谱曲线，并分析其亏格与对称性。
• 通过经典Hess–Appel’rot系统的替代Lax表示，在 $ e(3) $ 上引入一类新的动力系统家族，从而产生新的可积情形。
• 在 $ e(4) $ 上定义Kirchhoff与Chaplygin系统的四维推广，识别其哈密顿结构与首次积分。
• 通过构造四个独立且在泊松括号下对易的首次积分（包括两个线性与两个二次积分）证明完全可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Lax表示与代数几何时方法，完全求解三维经典Hess–Appel’rot系统？
• RQ2 四维Lagrange双拓扑与Hess–Appel’rot系统推广的Lax表示与谱曲线是什么？
• RQ3 Kirchhoff与Chaplygin情形的刚体运动在理想流体中能否推广至四维，同时保持可积性？
• RQ4 Baker–Akhiezer函数在高维刚体系统Lax对相关谱问题求解中起什么作用？
• RQ5 替代Lax表示如何导致 $ e(3) $ 上新一族可积系统？其经典与代数几何时积分程序是什么？

主要发现

• 经典Hess–Appel’rot系统具有Lax表示，其谱曲线 $ \mathcal{C} $ 亏格为三，在对合 $ \sigma:(\lambda_1, \mu) \mapsto (-\lambda_1, \mu) $ 下退化为亏格一曲线 $ \mathcal{C}_1 $。
• 四维Lagrange双拓扑系统完全可积，其谱曲线亏格为三，其代数几何时积分通过该曲线上Baker–Akhiezer函数实现。
• 四维Kirchhoff情形在Liouville意义下完全可积，具有四个独立首次积分：两个线性（$ M_{12}, M_{34} $）与两个二次积分，包括一个非平凡的二次积分 $ F_5 $。
• 四维Chaplygin情形由含 $ M_{ij} $ 与 $ \Gamma_k $ 混合项的哈密顿量定义，其 $ M_{12} $ 与 $ M_{34} $ 保持不变，证实其可积性。
• 经典Hess–Appel’rot系统的新Lax表示在 $ e(3) $ 上生成五类可积系统，每类均具有经典与代数几何时积分方法。
• Hess–Appel’rot系统的 $ n $-维推广通过相应的Lax表示构建，将可积性框架扩展至任意维数。