[论文解读] The Sasa-Satsuma equation with non-vanishing boundary conditions

Lili Wen, Engui Fan|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文通过在二层黎曼曲面上使用黎曼-希尔伯特问题，为具有非零边界条件的萨萨-萨茨马方程发展了一种逆散射变换，以解决谱参数的多值性问题。它建立了特征函数和散射系数的解析性、对称性及渐近性质，通过重构公式推导出$N$-孤子解，并基于离散谱分类，显式构造了三种不同的单孤子解，从而为非零边界条件下的孤子解提供了完整框架。

ABSTRACT

We concentrate on inverse scattering transformation for the Sasa-Satsuma equation with $3 imes 3$ matrix spectral and nonzero boundary condition in this article. To circumvent multi valuedness of eigenvalues, we introduce a suitable two-sheet Riemann surface to map the original spectral parameter $k$ into a single-valued parameter $z$. The analyticity of the Jost eigenfunctions and scattering coefficients of Lax pair for the SS equation are analyzed in details. According to the analyticity of eigenfunctions and scattering coefficients, the $z$-complex plane is divided into four analytic regions $D_j, \ j=1, 2, 3, 4$. Since the second column of Jost eigenfunctions is analytic in $D_{j}, \ j=1, 2, 3, 4$, but in upper-half or lower-half plane, we introduce certain auxiliary eigenfunctions which are necessary for deriving the analytic eigenfunctions in $D_{j}$. We find that for the eigenfunctions, scattering coefficients and the auxiliary eigenfunctions all possess three kinds of symmetries, which characterize the distribution of discrete spectrum. The asymptotic behaviors of eigenfunctions, auxiliary eigenfunctions and scattering coefficients are also systematically derived. Then a matrix Riemann-Hilbert problem with four kind jump conditions associated with the problem of nonzero asymptotic boundary conditions is established, from which $N$-soliton solutions is obtained via the corresponding reconstruction formulae. The reflectionless soliton solutions are explicitly given. As application of the $N$-soliton formula, we present three kinds of single-soliton solutions according to the distribution of discrete spectrum.

研究动机与目标

• 为具有非零边界条件的萨萨-萨茨马方程发展一种严格的逆散射变换，这些边界条件在物理上具有相关性，但由于谱的复杂性，数学上具有挑战性。
• 通过引入一个双层黎曼曲面映射$k \to z$，解决$3\times3$矩阵Lax对中谱参数的多值性问题，实现单值分析。
• 在$z$-平面的四个不同区域中，表征Jost特征函数、散射系数和辅助特征函数的解析性、对称性和渐近行为。
• 制定一个具有四个跳跃条件的矩阵黎曼-希尔伯特问题，针对非零边界条件，实现$N$-孤子解的推导。
• 基于离散谱分类为三种类型（第一类、第二类和第三类本征值），显式构造三种不同的单孤子解。

提出的方法

• 引入一个双层黎曼曲面，将多值谱参数$k$映射为单值参数$z$，以解决谱问题中的解析性问题。
• 分析Jost特征函数和散射系数在$z$-平面中四个互不相交区域$D_j$（$j=1,2,3,4$）内的解析性，识别出特征函数第二列在何处解析。
• 定义辅助特征函数，以确保在每个区域$D_j$中保持解析性，从而构造出适定的黎曼-希尔伯特问题。
• 建立一个具有四个跳跃条件的矩阵黎曼-希尔伯特问题，对应于四个解析区域，结合散射问题中的对称性和渐近数据。
• 利用黎曼-希尔伯特问题的解推导重构公式，从散射数据中恢复势函数$q(x,t)$。
• 应用$N$-孤子公式，推导出在三种不同谱配置（第一类、第二类和第三类本征值）下单孤子解的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将逆散射变换扩展到具有非零边界条件的萨萨-萨茨马方程，考虑到其$3\times3$矩阵Lax对的谱复杂性？
• RQ2 何种黎曼曲面结构能够解决谱参数$k$的多值性问题，并实现特征函数和散射系数的单值分析？
• RQ3 特征函数、散射系数和辅助特征函数的对称性如何表征复$z$-平面上离散谱的分布，并影响黎曼-希尔伯特问题的构建？
• RQ4 Jost特征函数、辅助特征函数和散射系数在复$z$-平面上的渐近行为是什么？它们如何影响跳跃矩阵？
• RQ5 如何从矩阵黎曼-希尔伯特问题的解中重构$N$-孤子解？不同离散谱类型下的单孤子解的显式形式是什么？

主要发现

• 本文成功地在双层黎曼曲面上构建了一个矩阵黎曼-希尔伯特问题，使得具有非零边界条件的萨萨-萨茨马方程的逆散射变换成为可能。
• 识别出特征函数、散射系数和辅助特征函数的三种不同对称性，这些对称性完全表征了复$z$-平面上离散谱的分布。
• 所有关键函数（Jost特征函数、辅助特征函数和散射系数）的渐近行为系统地推导出来，并用于定义黎曼-希尔伯特问题中的跳跃矩阵。
• $N$-孤子解通过黎曼-希尔伯特问题显式重构，势函数由$q(x,t) = \det \mathbf{W}^{\text{aug}} / \det \mathbf{W}$给出，其中$\mathbf{W}^{\text{aug}}$和$\mathbf{W}$是包含反射系数和归一化常数的定义矩阵。
• 显式推导出三种不同的单孤子解：一种对应第一类本征值（$\nu_n$），一种对应第二类（$\zeta_n$），一种对应第三类（$\omega_n$），每种具有独特的函数形式和传播动力学。
• 数值图示（图3–8）在不同参数区域（$\rho < q_0$，$\rho > q_0$，$\rho > 0$，$\rho < 0$）下验证了三种单孤子解的存在性和独特轮廓，证实了分析分类的正确性。