[论文解读] The Second Boundary Value Problem for a Discrete Monge-Ampere Equation

Gerard Awanou|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Geometry and complex manifolds被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对Monge-Ampère方程第二边界值问题的新型有限差分格式，采用离散次微分与基于上图的渐近锥的凸延拓。该方法确保了解的存在性、唯一性与稳定性，并在适当条件下证明了解收敛于连续解。

ABSTRACT

In this work we propose a discretization of the second boundary condition for the Monge-Ampere equation arising in geometric optics and optimal transport. The discretization we propose is the natural generalization of the popular Oliker-Prussner method proposed in 1988. For the discretization of the differential operator, we use a discrete analogue of the subdifferential. Existence, unicity and stability of the solutions to the discrete problem are established. Convergence results to the continuous problem are given.

研究动机与目标

• 开发一种一致且稳定的Monge-Ampère方程第二边界值问题的有限差分离散化方法，该问题源于最优传输与几何光学。
• 通过引入次微分的离散类比与基于渐近锥的凸延拓，推广Oliker-Prussner方法。
• 通过强制上图的渐近锥与目标区域的多边形逼近相匹配，确保离散解满足第二边界条件。
• 建立离散解的存在性、唯一性与稳定性，并证明其收敛于连续的Aleksandrov解。

提出的方法

• 使用笛卡尔网格，在Ωh上定义一个网格函数uh，其值通过涉及Ω∗的多边形逼近Y的对偶顶点的公式进行扩展。
• 通过一个模板V(x) ⊂ Zd \ {0}定义离散次微分∂V uh(x)，并将离散Monge-Ampère算子定义为ωV(R, uh, x) = ∫∂V uh(x) R(p) dp。
• 通过v∞与kΩ∗的下确界卷积，将uh在Rd上实现凸延拓，其中kΩ∗是Ω∗的支撑函数，确保上图的渐近锥与KΩ∗一致。
• 通过求解x ∈ Ωh时的ωV(R, uh, x) = h d f(x)，构造离散解，边界值由uh(x) = min_{y∈∂Ωh} max_{1≤j≤N} (x−y)·a∗j + uh(y)给出。
• 利用上图与极锥理论，证明扩展函数的渐近锥等于KΩ∗，对应于目标区域Ω∗。
• 应用下确界卷积与正规凸函数的性质等分析工具，证明离散解可正确延拓并满足第二边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Monge-Ampère方程的第二边界值问题构造一种保持连续问题几何结构的一致有限差分格式？
• RQ2 如何通过凸分析与渐近锥，自然地将传统上难以实现的第二边界条件融入离散格式中？
• RQ3 在Monge-Ampère方程第二边界条件的背景下，何种条件可确保离散解的存在性、唯一性与稳定性？
• RQ4 当网格尺寸h → 0时，所提出的格式是否收敛于连续的Aleksandrov解？

主要发现

• 离散Monge-Ampère算子通过在离散次微分上进行积分来定义，确保与连续测度密度的一致性。
• 离散解通过一种凸延拓公式构造，该公式强制上图的渐近锥与Ω∗的多边形逼近Y相匹配，从而满足第二边界条件。
• 在f > 0且f ∈ C(Ω)的假设下，离散解的存在性、唯一性与稳定性得到严格证明。
• 在适当的正则性与相容性条件下，当h → 0时，离散解收敛于连续的Aleksandrov解。
• 该方法通过渐近锥与下确界卷积实现几何一致的边界处理，推广了Oliker-Prussner格式。
• 扩展正确性的分析证明依赖于下确界卷积与次微分的局部性，表明∂v((eS)◦) ⊂ Ω∗是扩展与v在eS上一致的必要且充分条件。