[论文解读] The second moment of derivatives of quadratic twists of modular $L$-functions

Yujiao Jiang, Quanli Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

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一句话总结

作者给出二次扭换的模函数 L-函数的一阶导数的二阶矩的渐近公式，包含三条主要项，改进了之前仅有第一条主项的结果。

ABSTRACT

We prove an asymptotic formula for the second moment of the first derivative of quadratic twists of modular $L$-functions with three leading order main terms. It improves the previous result of Kumar et al. with the first main term. The proof is based on the large sieve type inequality established by Li, with a key input that we convert the problem into computing an asymptotic formula for the completed twisted modular $L$-functions with large shifts.

研究动机与目标

• 与 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想及对 Mordell–Weil 群的 Kolyvagin 型后果相关的动机。
• 研究扭曲模函数 L-函数导数的矩，以理解非零性及其代数后果。
• 为 L′(1/2,f⊗χ8d) 的二阶矩建立一个无条件的三主项渐近。
• 提出并应用一种将问题转化为带大位移的完成 L-函数的移位矩的办法。

提出的方法

• 用近似功能方程将 L′(1/2,f⊗χ8d) 与带位移的完成 L-函数乘积联系起来。
• 应用 Li 的大筛型不等式对字符的平均进行界定，并缩短 Dirichlet 多项式的长度。
• 通过 Poisson 求和将矩分解为对角与非对角贡献，并仔细从对角部分提取主项。
• 引入带大位移的完成 L 函数的移位矩，以控制由求导产生的对数因子。
• 通过优化 dyadic 参数 U 和截断长度 Y，平衡误差项，得到所需的渐近。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于平方自由 d 的 L′(1/2,f⊗χ8d)² 相对于 Φ(8d/X) 加权的二阶矩和的渐近行为是什么？
• RQ2 渐近式中出现多少条主项，以及它们是否可以在无条件的情况下给出（含常数）？
• RQ3 该方法是否能处理移位矩框架中的大位移，并扩展到 SL2(Z) 岗模形式以外的模形？
• RQ4 对角项与非对角项对渐近和误差项的影响是什么？

主要发现

• 存在带三条主项的二阶矩渐近公式：c3 X (log X)³ + c2 X (log X)² + c1 X log X + 误差项。
• 主系数 c3 以 L(1, sym² f) 的函数及 Z1(0,0) 因子显式给出。
• 该结果相较于只包含第一条主项的 Kumar 等人之前的工作有所改进；方法利用移位矩表示和大筛技术。
• 误差项为 O(X (log log X)⁵)。
• 证明方法依赖于将问题转化为带大位移的完成扭曲 L-函数的渐近，并利用对角/非对角分析。