[论文解读] The second moment theory of families of L-functions

Valentin Blomer, Étienne Fouvry+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 56被引用 14

一句话总结

该论文为固定尖点形式在模素数 q 的本原狄利克雷特征下的扭家族中，中心 L-值的一阶和二阶扭矩建立了具有幂次误差项的渐近公式。利用解析数论中的高级工具——如迹函数、科罗斯特曼和以及共振器方法——该研究证明了这些中心 L-值中有正比例非零，部分值极大，且高阶解析秩的概率呈指数衰减。这些结果验证了 L-函数理论中的关键预测，并证实了 Mazur 和 Rubin 关于模形式符号的猜想的一个特例。

ABSTRACT

For a fairly general family of L-functions, we survey the known consequences of the existence of asymptotic formulas with power-sawing error term for the (twisted) first and second moments of the central values in the family. We then consider in detail the important special case of the family of twists of a fixed cusp form by primitive Dirichlet characters modulo a prime q, and prove that it satisfies such formulas. We derive arithmetic consequences: - a positive proportion of central values L(f x chi, 1/2) are non-zero, and indeed bounded from below; - there exist many characters chi for which the central L-value is very large; - the probability of a large analytic rank decays exponentially fast. We finally show how the second moment estimate establishes a special case of a conjecture of Mazur and Rubin concerning the distribution of modular symbols.

研究动机与目标

• 为 L-函数族（特别是固定尖点形式的扭 Hecke L-函数）发展二阶矩理论。
• 为模素数 q 的本原狄利克雷特征扭家族中中心 L-值的一阶和二阶扭矩建立具有幂次误差项的渐近公式。
• 从这些矩估计中推导算术后果，包括非零性结果、极端值界限以及解析秩的控制。
• 利用二阶矩估计验证 Mazur-Rubin 关于模形式符号分布的猜想的一个特例。

提出的方法

• 应用迹函数及其 Mellin 变换理论，分析家族中扭 L-值。
• 使用共振器方法放大中心 L-值并探测极大值，依赖于精心构造的共振器多项式。
• 应用显式公式，将 L-函数的矩与算术函数及迹函数的和联系起来。
• 应用平移卷积方法和科罗斯特曼和的双线性和，控制矩估计中的误差项。
• 利用迹函数的等分布性质以及 Mellin 变换的等分布群，处理振荡和。
• 应用熔化技术证明中心 L-值非零的正比例性，通过精心选择的熔化器分离主项。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定尖点形式在模素数 q 的本原狄利克雷特征扭家族中，中心 L-值的一阶和二阶扭矩的渐近行为是什么？
• RQ2 能否证明中心 L-值 L(f ⊗ χ, 1/2) 的正比例非零，甚至远离零？
• RQ3 在该家族中，单个特征 χ 的中心 L-值 L(f ⊗ χ, 1/2) 最大可达到多大？
• RQ4 解析秩 rkan(f ⊗ χ) 的分布如何？大秩的概率衰减速度如何？
• RQ5 二阶矩估计是否蕴含 Mazur-Rubin 关于模形式符号分布猜想的一个特例？

主要发现

• 中心 L-值 L(f ⊗ χ, 1/2) 的正比例非零，且下界远离零，该比例在 q 上一致远离零。
• 存在某些特征 χ，使得中心 L-值 L(f ⊗ χ, 1/2) 极其巨大，其增长快于 log q 的任意幂次。
• 解析秩 rkan(f ⊗ χ) 超过大整数 R 的概率以 O(e^{-cR}) 的速率指数衰减，其中 c > 0。
• 二阶矩估计表明，在非退化条件下，迹函数 t 与模形式符号的相关和 Cf(t) 满足 Cf(t) ≪ q^{-1/8 + ε}（对任意 ε > 0）。
• 该论文验证了 Mazur-Rubin 猜想的一个特例：对某些迹函数 t，相关和 Cf(t) 有界于 O(q^{-1/8 + ε})，证实了模形式符号分布中预期的抵消效应。
• 对于例外情形（如 Kummer 层），通过次凸估计证明相关和为 O(q^{-1/8 + ε})，将结果推广至所有情形。