[论文解读] The second variational formula of the k-energy and k-harmonic curves

Shun Maeta|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文推导了 $k$-能量泛函在 $k$-调和映射下的二阶变分公式，引入了指标、亏性与弱稳定性的概念。研究了常截面曲率流形中的非平凡 $k$-调和曲线，包括球面上 $3$-调和曲线的显式常微分方程，并证明在特定曲率条件下，具有常测地线曲率的曲线是 $k$-调和的。

ABSTRACT

J.Eells and L. Lemaire introduced $k$-harmonic maps, and Wang Shaobo showed the first variation formula. In this paper, we give the second variation formula of $k$-energy, and give a notion of index, nullity and weakly stable. We also study $k$-harmonic maps into the product Riemannian manifold, and $k$-harmonic curves into a Riemannian manifold with constant sectional curvature, and show their non-trivial solutions.

研究动机与目标

• 推导 $k$-调和映射的 $k$-能量泛函的二阶变分公式。
• 为 $k$-调和映射定义并分析指标、亏性和弱稳定性。
• 研究到乘积黎曼流形的 $k$-调和映射，并利用约化定理简化问题。
• 研究到具有常截面曲率的黎曼流形的 $k$-调和曲线，并确定非平凡解的存在条件。
• 显式推导球面 $S^n$ 上 $3$-调和曲线的常微分方程。

提出的方法

• 利用上拉丛 $\phi^{-1}TN$ 上的粗糙拉普拉斯算子 $\overline{\bigtriangleup}$ 和曲率项 $R^N$，推导 $k$-能量的二阶变分公式。
• 通过变分向量场 $V$ 计算二阶变分，使用 $\overline{\nabla}_{\partial_t}\overline{\bigtriangleup}^{s-1}\tau(F)$，并引入曲率与联络项。
• 利用约化定理证明：到乘积流形的 $k$-调和映射可分解为各因子上的 $k$-调和映射。
• 通过假设测地线曲率为常数 $\kappa$，代入 $k$-张力场方程，分析 $k$-调和曲线。
• 通过迭代协变导数 $\nabla_{\gamma'}^k \gamma^{(k)}$ 和度量内积 $g_{ij}$，显式推导出 $S^n$ 上 $3$-调和曲线的六阶常微分方程。
• 应用恒等式 $\nabla_{\gamma'}\gamma' = \gamma'' + \gamma$ 在球面上，将高阶导数用 $\gamma^{(k)}$ 和内积 $g_{ij}$ 表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $k$-调和映射，$k$-能量泛函的二阶变分公式是什么？它与稳定性有何关系？
• RQ2 在具有常截面曲率的黎曼流形中，非平凡 $k$-调和曲线在何种条件下存在？
• RQ3 到乘积流形的 $k$-调和映射能否约化为在各因子上的 $k$-调和映射？
• RQ4 描述 $3$-调和曲线进入球面 $S^n$ 的常微分方程是什么？
• RQ5 在空间形式中，具有何种测地线曲率 $\kappa$ 的常曲率曲线是 $k$-调和的？

主要发现

• 推导出 $k$-能量的二阶变分公式，从而可为 $k$-调和映射定义指标、亏性和弱稳定性。
• 在截面曲率为 $K \geq 0$ 的流形中，当测地线曲率 $\kappa = \sqrt{(2s-1)K}$ 时，$2s$-调和曲线存在非平凡解。
• 对于具有常测地线曲率的 $(2s+1)$-调和曲线，当 $\kappa = \sqrt{2sK}$ 时，其在常曲率流形中为 $k$-调和。
• 显式推导出球面 $S^n$ 上 $3$-调和曲线的常微分方程：$-\gamma^{(6)} - 2\gamma^{(4)} - (2g_{13} + 3)\gamma'' + 4g_{23}\gamma' + (1 + 9g_{24} + 8g_{33})\gamma = 0$，其中 $g_{ij} = g_0(\gamma^{(i)}, \gamma^{(j)})$。
• 推导结果表明，$k$-调和映射不一定是 $t$-调和的（当 $k \neq t$ 时），从而证实了 $k$-调和层次结构的非平凡性。