[论文解读] The Sigma-max System Induced from Randomness & Fuzziness and its Application in Time Series Prediction

Wei Mei, Ming Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

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一句话总结

本文提出Sigma-max系统，分别从明确的随机性与模糊性出发，推导出概率（sigma）与可能性（max）理论。通过以相容性形式化模糊性，并将'max'证明为模糊空间中唯一有效的析取算子，表明max推理在股票价格预测中的准确率相比sigma推理最高可提升18.99%，为可能性理论提供了物理基础。

ABSTRACT

This paper managed to induce probability theory (sigma system) and possibility theory (max system) respectively from the clearly-defined randomness and fuzziness, while focusing the question why the key axiom of "maxitivity" is adopted for possibility measure. Such an objective is achieved by following three steps: a) the establishment of mathematical definitions of randomness and fuzziness; b) the development of intuitive definition of possibility as measure of fuzziness based on compatibility interpretation; c) the abstraction of the axiomatic definitions of probability/ possibility from their intuitive definitions, by taking advantage of properties of the well-defined randomness and fuzziness. We derived the conclusion that "max" is the only but un-strict disjunctive operator that is applicable across the fuzzy event space, and is an exact operator for extracting the value from the fuzzy sample space that leads to the largest possibility of one. Then a demonstration example of stock price prediction is presented, which confirms that max inference indeed exhibits distinctive performance, with an improvement up to 18.99%, over sigma inference for the investigated application. Our work provides a physical foundation for the axiomatic definition of possibility for the measure of fuzziness, which hopefully would facilitate wider adoption of possibility theory in practice.

研究动机与目标

• 基于模糊性的物理概念，建立可能性理论的严格数学基础。
• 解决长期存在的问题：为何'maxitivity'是可能性测度的正确公理？
• 通过明确定义随机性与模糊性，统一概率（sigma）与可能性（max）理论。
• 在真实世界的时间序列预测中，证明max推理相对于sigma推理的实践优越性。
• 为模糊事件空间中公理化使用'max'提供物理与直观的解释依据。

提出的方法

• 通过精确的数学公式定义随机性与模糊性，将其区分为不同的不确定性来源。
• 引入基于相容性的可能性解释，将其作为模糊性的度量，建立在直观推理基础之上。
• 从随机性与模糊性的直观定义出发，抽象出概率与可能性的公理化系统。
• 证明'max'是唯一在所有模糊事件空间中均有效的非严格析取算子，确保可能性赋值的一致性。
• 推导出sigma-max系统作为对偶框架，其中sigma控制随机性，max控制模糊性。
• 将该系统应用于股票价格预测，采用max推理，并与sigma推理的性能进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何'maxitivity'是可能性测度的正确公理？能否从模糊性的物理解释中推导出？
• RQ2 概率与可能性理论能否从明确定义的随机性与模糊性概念中正式推导而出？
• RQ3 在模糊事件空间中，'max'是否为唯一有效的析取算子？原因是什么？
• RQ4 在实际的时间序列预测任务中，max推理是否优于sigma推理？
• RQ5 可能性的公理化定义能否基于物理直观基础，而非单纯假设？

主要发现

• 'max'算子是唯一在所有模糊事件空间中普遍适用的非严格析取算子。
• 基于相容性的可能性解释为可能性理论提供了物理直观且数学一致的基础。
• sigma-max系统成功地将概率与可能性分别作为随机性与模糊性的推导结果统一起来。
• 在股票价格预测中，max推理相比sigma推理最高可实现18.99%的性能提升。
• 可能性的公理化定义通过模糊性的内在属性得到合理化，增强了其可信度与实际应用价值。