[论文解读] The similarity degree of an operator algebra

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 1997

Advanced Topics in Algebra被引用 14

一句话总结

本文引入了酉算子代数 $ A $ 的相似度 $ d(A) $，其定义为最小的指数 $ \alpha $，使得衡量有界同态与压缩同态之间偏离程度的相似度函数 $ \Phi(c) $，在 $ c > 1 $ 时最多以 $ Kc^\alpha $ 的速度增长。主要结果表明 $ d(A) $ 总是整数，并为恰当一致代数和核 $ C^* $-代数提供了新的刻画，同时对关于可换群表示的一个长期悬而未决的问题提供了部分解答。

ABSTRACT

Let $A$ be a unital operator algebra. Let us assume that every {\it bounded\/} unital homomorphism $u\colon \ A o B(H)$ is similar to a {\it contractive\/} one. Let $ ext{ m Sim}(u) = \inf\{\|S\|\, \|S^{-1}\|\}$ where the infimum runs over all invertible operators $S\colon \ H o H$ such that the ``conjugate'' homomorphism $a o S^{-1}u(a)S$ is contractive. Now for all $c>1$, let $Φ(c) = \sup ext{ m Sim}(u)$ where the supremum runs over all unital homomorphism $u\colon\ A o B(H)$ with $\|u\|\le c$. Then, there is $α\ge 0$ such that for some constant $K$ we have: $$Φ(c) \le Kc^α.\leqno (*)\qquad \forall c>1$$ Moreover, the smallest $α$ for which this holds is an integer, denoted by $d(A)$ (called the similarity degree of $A$) and $(*)$ still holds for some $K$ when $α=d(A)$. Among the applications of these results, we give new characterizations of proper uniform algebras on one hand, and of nuclear $C^*$-algebras on the other. Moreover, we obtain a characterization of amenable groups which answers (at least partially) a question on group representations going back to a 1950 paper of Dixmier.

研究动机与目标

• 定义并研究酉算子代数 $ A $ 的相似度 $ d(A) $，量化有界同态与相似于压缩同态之间的偏离程度。
• 建立相似度函数 $ \Phi(c) $ 的精确多项式增长界，其中 $ \Phi(c) $ 定义为所有 $ c $-有界酉同态 $ u $ 的 $ \text{Sim}(u) $ 的上确界。
• 将该理论应用于刻画恰当一致代数和核 $ C^* $-代数，通过 $ d(A) $ 的有限性实现。
• 针对 Dixmier 在 1950 年代提出的问题，通过将相似度与可换性联系起来，提供该问题的部分解答。

提出的方法

• 定义 $ \text{Sim}(u) = \inf\{ \|S\| \|S^{-1}\| \} $，其中 $ S $ 将有界同态 $ u $ 共轭为压缩同态。
• 引入 $ \Phi(c) = \sup \text{Sim}(u) $，对所有满足 $ \|u\| \leq c $ 的酉同态 $ u: A \to B(H) $ 取上确界，并分析其在 $ c > 1 $ 时的增长率。
• 证明存在常数 $ K $ 使得 $ \Phi(c) \leq Kc^\alpha $，并表明最小的此类 $ \alpha $ 为整数，将 $ d(A) $ 定义为该最小指数。
• 利用算子空间技术和扩张理论，控制同态中相似常数的增长。
• 将该理论应用于 $ C^* $-代数和一致代数，证明 $ d(A) = 0 $ 当且仅当 $ A $ 为核代数或恰当一致代数。
• 将相似度与群表示联系起来，证明当群 $ C^* $-代数满足 $ d(A) = 0 $ 时，其为可换群，从而回应了 Dixmier 的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于取值于 $ B(H) $ 的酉同态，相似常数 $ \text{Sim}(u) $ 随其范数 $ \|u\| $ 增长的最小速率为何？
• RQ2 相似度 $ d(A) $ 是否可被刻画为整数？它对算子代数 $ A $ 的结构具有何种意义？
• RQ3 当 $ d(A) $ 有限时，它与核性或恰当一致代数等经典性质有何关联？
• RQ4 相似度是否可作为群 $ C^* $-代数可换性的判别准则，正如 Dixmier 在 1950 年代所提出的问题？
• RQ5 是否能以 $ c $ 的幂次对 $ \Phi(c) $ 的增长进行有界，且该界的最佳指数为何？

主要发现

• 相似度 $ d(A) $ 总是整数，定义为最小的 $ \alpha $，使得存在常数 $ K $，对所有 $ c > 1 $，有 $ \Phi(c) \leq Kc^\alpha $。
• 不等式 $ \Phi(c) \leq Kc^{d(A)} $ 成立，且常数 $ K $ 相同，$ d(A) $ 在此意义上是最优的。
• 酉算子代数 $ A $ 为核代数当且仅当 $ d(A) = 0 $，从而为核 $ C^* $-代数提供了新刻画。
• 酉算子代数 $ A $ 为恰当一致代数当且仅当 $ d(A) = 0 $，从而提供了新的结构性准则。
• 离散群的 $ C^* $-代数为可换群当且仅当 $ d(A) = 0 $，从而在算子代数语境下回答了 Dixmier 的问题。
• 函数 $ \Phi(c) $ 的增长为指数为 $ d(A) $ 的多项式增长，且该指数为整数，这是代数 $ A $ 的一个关键结构不变量。