[论文解读] The size of bipartite graphs with girth eight

Stefan Neuwirth|ArXiv.org|Feb 27, 2001

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 12

一句话总结

本文将 Reiman 针对 girth 六的二分图的不等式推广至 girth 八，推导出一个界定此类图中最大边数的三次不等式。关键结果是对平衡二分图给出了最优边界 $ e acksim v^{4/3} $，并对非平衡情形给出了紧致估计，等号在广义四边形构造及显式极值图中成立。

ABSTRACT

Reiman produced a quadratic inequality for the size of bipartite graphs of girth six. We get its counterpart for girth eight, a cubic inequality. It is optimal in as far as it admits the algebraic structure of generalized quadrangles as case of equality. This enables us to obtain the optimal estimate e ~ v^(4/3) for balanced bipartite graphs. We also get an optimal estimate for very unbalanced graphs.

研究动机与目标

• 将 Reiman 针对 girth 六的二分图不等式推广至 girth 八。
• 推导出不含 4-圈与 6-圈的二分图中边数的紧致上界。
• 刻画达到等号的极值图，包括来自有限几何的构造。
• 为估计高 girth 稀疏二分图的边密度提供统一框架。
• 解决有关此类极值图渐近大小的开放问题，特别是非平衡情形下的情况。

提出的方法

• 推导一个关于边数 $ e $、顶点数 $ v $ 与 $ w $ 的三次不等式，该不等式刻画了图中不存在 4-圈与 6-圈的性质。
• 改编 Atkinson 等人的不等式，以界定二分图中长度为 3 的路径数。
• 利用路径计数的上界，绕过 De Caen 与 Székely 结果证明中的最后一步。
• 应用增长引理，通过归纳法验证该三次不等式在不同图规模下的有效性。
• 通过无色图的二分展开构造极值图，并验证等号成立的情形。
• 采用基于矩阵的方法分析边配置，并通过代数恒等变形证明不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 girth 八的二分图中，边数的最优上界是什么？
• RQ2 在平衡与非平衡的 girth 八二分图中，最大边数如何随顶点数变化？
• RQ3 哪些已知的组合结构在所推导的边界中达到等号？
• RQ4 该边界能否在已知极值构造之外进一步收紧或推广？
• RQ5 当一个顶点类远大于另一个时，边数的渐近行为如何？

主要发现

• 对所有 girth 至少为八的二分图，不等式 $ e^3 - (v+w)e^2 + 2vwe - v^2w^2 \leq 0 $ 恒成立。
• 在平衡图中（$ v = w $），最大边数满足 $ e < v^{4/3} + \frac{2}{3}v - \frac{2}{9}v^{2/3} - \frac{20}{81}v^{1/3} $，提供了精确的渐近边界。
• 在非平衡情形下，当 $ v \geq \lfloor w^2/4 \rfloor $ 时，边界 $ e \leq v + \lfloor w^2/4 \rfloor $ 是最优的，且由构造的极值图实现。
• 等号在广义四边形的关联图及其他有限几何构造中实现。
• 当 $ \max(v,w) \leq \lfloor \min(v,w)^2/4 \rfloor $ 时，不等式 $ e \leq 2^{1/3}(vw)^{2/3} $ 成立，与已知极值估计一致。
• 本文解决了 De Caen 与 Székely 关于 $ (vw)^{2/3} $ 尺度的猜想，表明当 $ v \ll w^2 $ 但 $ v \gg w^{5/4} $ 时，该尺度不成立。