[论文解读] The space of complete embedded maximal surfaces with isolated singularities in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $ł^3$

Isabel Fernández, Francisco J. López+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文证明了在三维洛伦兹-闵可夫斯基空间中具有有限个孤立锥形奇点的完备嵌入极大曲面，是整体图象，其定义于类空平面上，渐近于一个平面或半双曲面。论文构建了此类图象的模空间 $τ_n$，其为一个 $3n+4$ 维的光滑流形，并通过 Weierstrass 数据与旋量丛，将商空间 $ς_n$ 识别为一个维度为 $3n-1$ 的解析流形，其中收敛性由紧集上的一致收敛性与共形结构极限定义。

ABSTRACT

We show that a complete embedded maximal surface in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $L^3$ with a finite number of singularities is, up to a Lorentzian isometry, an entire graph over any spacelike plane asymptotic to a vertical half catenoid or a horizontal plane and with conelike singular points. We study the space $G_n$ of entire maximal graphs over $\{x_3=0\}$ in $L^3$ with $n+1 \geq 2$ conelike singularities and vertical limit normal vector at infinity. We show that $G_n$ is a real analytic manifold of dimension $3n+4,$ and the coordinates are given by the position of the singular points in $R^3$ and the logarithmic growth at the end. We also introduce the moduli space $M_n$ of {\em marked} graphs with $n+1$ singular points (a mark in a graph is an ordering of its singularities), which is a $(n+1)$-sheeted covering of $G_n.$ We prove that identifying marked graphs differing by translations, rotations about a vertical axis, homotheties or symmetries about a horizontal plane, the corresponding quotient space $M_n$ is an analytic manifold of dimension $3n-1.$

研究动机与目标

• 对 $β^3$ 中具有有限个孤立奇点的完备嵌入极大曲面进行分类。
• 构建并分析在 ${ x_3=0}$ 上具有 $n+1$ 个奇点且在无穷远处具有竖直极限法向的整个极大图象的模空间 $τ_n$。
• 将在环境对称性下标记图象的商空间 $ς_n$ 识别为维度为 $3n-1$ 的解析流形。
• 建立 $τ_n$ 中的收敛性等价于紧子集上的一致收敛性、共形结构与 Weierstrass 数据的收敛性。

提出的方法

• 利用 $β^3$ 中极大曲面的 Weierstrass 表示，通过亚纯数据与全纯1-形式参数化图象。
• 在锥形奇点上应用 Schwarz 反射，将曲面延拓为完备的极大面，从而将其理论与代数几何联系起来。
• 通过奇点位置与无穷远处的对数增长作为全局解析坐标，将模空间 $τ_n$ 定义为维度为 $3n+4$ 的光滑流形。
• 通过标记奇点，将空间 $ς_n$ 构造为 $τ_n$ 的 $(n+1)$-叶覆盖，然后模去环境对称性：平移、旋转、位似与反射。
• 通过映射 $ς_s_2$ 到 Weierstrass 数据空间，为 $ς_n$ 赋予解析结构，证明其为解析子mersion。
• 利用旋量丛 ${\cal S}_n$ 将 $ς_n$ 与图象的 Weierstrass 数据模空间相联系，确立其解析流形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $β^3$ 中具有有限个孤立锥形奇点的完备嵌入极大曲面的模空间的全局结构是什么？
• RQ2 此类曲面的收敛性如何与它们的共形结构及 Weierstrass 数据的收敛性相关？
• RQ3 具有 $n+1$ 个奇点的标记图象模空间能否被约化为一个继承解析流形结构的商空间？
• RQ4 在识别相差于环境等距变换与位似变换的图象后，此类曲面的模空间维度是多少？
• RQ5 从标记模空间到未标记模空间的投影在对称图象之外是否为解析覆盖映射？

主要发现

• 在 $β^3$ 中具有有限个孤立奇点的完备嵌入极大曲面是任意类空平面上的整体图象，具有锥形奇点，且渐近于类空平面或半双曲面。
• 具有 $n+1 \geq 2$ 个奇点且在无穷远处具有竖直极限法向的整个极大图象的模空间 $τ_n$ 是一个 $3n+4$ 维的光滑流形。
• 在 $τ_n$ 中的收敛性等价于在 ${ x_3=0}$ 的紧子集上图象的一致收敛性，以及共形结构与 Weierstrass 数据的收敛性。
• 标记图象的模空间 $ς_n$ 是 $τ_n$ 的 $(n+1)$-叶覆盖，且在环境对称性下的商空间 $ς_n$ 是一个维度为 $3n-1$ 的解析流形。
• 空间 $ς_n$ 可与图象在 $τ_n$ 中的 Weierstrass 数据模空间相关的旋量丛 ${\cal S}_n$ 相同，从而获得自然的解析结构。
• 映射 $ς_s_1: ς_n \to \u03c4_n$ 是在对称图象之外的 $(n+1)!$ 重解析覆盖，确认了模空间的全局解析结构。