[论文解读] The space of Penrose tilings and the non-commutative curve with homogeneous coordinate ring k/(y^2)

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文在非交换代数几何框架下，建立了彭罗斯密铺空间与由齐次坐标环 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 定义的非交换曲线之间的对应关系。它表明等距不变的密铺对应于该曲线上拟相干层范畴中的同构标准层，并证明了该范畴与一个冯·诺伊曼正则环上的模范畴之间存在等价关系，且该环的范数闭包即为康奈斯对彭罗斯密铺空间所构造的 AF-代数。

ABSTRACT

We construct a non-commutative scheme that behaves as if it is the space of Penrose tilings of the plane. Let k be a field and B=k(y^2). We consider B as the homogeneous coordinate ring of a non-commutative projective scheme. The category of "quasi-coherent sheaves" on it is, by fiat, the quotient category QGr(B):=Gr(B)/Fdim(B) and the category of coherent sheaves on it is qgr(B):=gr(B)/fdim(B), where gr(B) is the category of finitely presented graded modules and fdim(B) is the full subcategory of finite dimensional graded modules. We show that QGr B is equivalent to Mod S, the category of left modules over the ring S that is the direct limit of the directed system of finite dimensional semisimple algebras S_n=M_{f_n}(k) + M_{f_{n-1}}(k) where f_{n-1} and f_n$ are adjacent Fibonacci numbers and the maps S_n o S_{n+1} are (a,b)--->(diag(a,b),a). When k is the complex numbers, the norm closure of S is the C^*-algebra Connes uses to view the space of Penrose tilings as a non-commutative space. Objects in QGr B have projective resolutions of length at most one so the non-commutative scheme is, in a certain sense, a smooth non-commutative curve. Penrose tilings of the plane are in bijection with infinite sequences z=z_0z_1 ... of 0s and 1s with no consecutive 1s. We associate to each such sequence a graded B-module, a "point module", that becomes a simple object O_z in QGr B that we think of as a "skyscraper sheaf" at a "point" on this non-commutative curve. Tilings T_z and T_{z'} determined by two such sequences are equivalent, i.e., the same up to a translation on R^2, if and only if O_z is isomorphic to O_{z'}. A result of Herbera shows that Ext^1(O_z,O_{z'}) is non-zero for all z and z'. This as an algebraic analogue of the fact that every equivalence class of tilings is dense in the set of all Penrose tilings.

研究动机与目标

• 建立彭罗斯密铺空间的非交换代数几何模型。
• 证明单个彭罗斯密铺对应于具有齐次坐标环 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 的非交换曲线上的“点”。
• 证明两个密铺等距当且仅当其在范畴 $\operatorname{QGr}B$ 中对应点的标准层同构。
• 证明该非交换曲线上拟相干层的范畴与一个冯·诺伊曼正则环上的模范畴等价。
• 通过直极限与范数闭包，将此代数结构与康奈斯对彭罗斯密铺空间所构造的 AF-代数联系起来。

提出的方法

• 使用非交换代数几何方法，为 $B = \mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 定义 $\operatorname{Proj}_{nc}B$，将其视为一个非交换概形。
• 将 $\operatorname{QGr}B$ 定义为商范畴 $\operatorname{Gr}B / \operatorname{Fdim}B$，以建模该非交换曲线上的拟相干层。
• 通过点选择与迭代复合，建立彭罗斯密铺与不含相邻 1 的 0 和 1 无限序列之间的对应关系。
• 构造一个有限维 $C^*$-代数的直序系统 $S_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})$，其连接映射为 $\phi_n(a,b) = \left(\begin{smallmatrix}a&0\\0&b\end{smallmatrix}\right), a)$，其直极限为一个冯·诺伊曼正则环 $S$。
• 证明范畴等价 $\operatorname{QGr}(\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)) \cong \operatorname{Mod}S$，其中 $\mathcal{O}$ 映射到 $S$，并证明 $S$ 的范数闭包即为康奈斯的 AF-代数。
• 利用点模序列与布雷泰利图中的半无限路径，对点模进行分类，并将其与彭罗斯序列的尾部关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非交换几何方法，通过代数方式建模彭罗斯密铺空间？
• RQ2 彭罗斯密铺与非交换环上模之间的范畴对应关系是什么？
• RQ3 在非交换设定下，彭罗斯密铺的等距不变子集如何与层的同构关系相关联？
• RQ4 非交换曲线 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 上拟相干层范畴的代数结构是什么？
• RQ5 有限维代数的直极限如何与彭罗斯密铺空间的康奈斯 AF-代数相关联？

主要发现

• 非交换曲线 $\operatorname{Proj}_{nc}(\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2))$ 上拟相干层的范畴与一个冯·诺伊曼正则环 $S$ 上模的范畴等价，其中 $S$ 是系统 $S_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})$ 的直极限，连接映射为 $\phi_n(a,b) = \left(\begin{smallmatrix}a&0\\0&b\end{smallmatrix}\right), a)$。
• 环 $S$ 的范数闭包即为阿尔ain·康奈斯关联于彭罗斯密铺空间的 AF-代数。
• 两个彭罗斯密铺等距当且仅当其在 $\operatorname{QGr}B$ 中对应点的标准层同构。
• $\operatorname{qgr}B$（该非交换曲线上相干层的范畴）与 $S$ 上有限生成模的范畴等价，即 $\operatorname{qgr}B \cong \operatorname{mod}S$。
• 环 $B = \mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 的点模由序列 $a_0, a_1, \ldots$ 分类，其中若 $ye_i = 0$，则 $a_i = \infty$；若 $a_i \neq \infty$，则 $a_{i+1} = \infty$，等价关系由尾等价定义。
• 存在一个从点模序列到布雷泰利图中从顶点 0 出发的半无限路径的满射 $\Psi$，其纤维为 $\mathbb{C}$ 与 $\{\infty\}$ 的乘积，反映了该非交换空间的结构。