[论文解读] The spaces of Laurent polynomials, $\mathbb{P}^1$-orbifolds, and integrable hierarchies

Todor Milanov, Hsian‐Hua Tseng|ArXiv.org|Jul 1, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文证明了弗罗贝尼乌斯流形 $M_{k,m}$——即次数为 $k+m$ 的洛朗多项式空间——的总下代数和上代数势满足哈尔塔二次方程（HQEs），并将其识别为可积层级的tau函数。本文还证明了 $M_{k,m}$ 同构于具有 $\mathbb{Z}_k$ 和 $\mathbb{Z}_m$ 两类奇异点的 $\mathbb{P}^1$-奇异流形 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调，从而通过HQEs将 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的格罗莫夫-威滕理论与可积系统联系起来。

ABSTRACT

Let $M_{k,m}$ be the space of Laurent polynomials in one variable $x^k + t_1 x^{k-1}+... t_{k+m}x^{-m},$ where $k,m\geq 1$ are fixed integers and $t_{k+m} eq 0$. According to B. Dubrovin \cite{D}, $M_{k,m}$ can be equipped with a semi-simple Frobenius structure. In this paper we prove that the corresponding descendant and ancestor potentials of $M_{k,m}$ (defined by A. Givental) satisfy Hirota quadratic equations (HQE for short). Let $\mathcal{C}_{k,m}$ be the orbifold obtained from $\mathbb{P}^1$ by cutting small discs $D_1\simeq \{|z|\leq ε\}$ and $D_2\simeq\{|z^{-1}|\leq ε\}$ around $z=0$ and $z=\infty$ and gluing back the orbifolds $D_1/\mathbb{Z}_k$ and $D_2/\mathbb{Z}_m$ in the obvious way. We show that the orbifold quantum cohomology of $\mathcal{C}_{k,m}$ coincides with $M_{k,m}$ as Frobenius manifolds. Modulo some yet-to-be-clarified details, this implies that the descendant (respectively the ancestor) potential of $M_{k,m}$ is a generating function for the descendant (respectively ancestor) orbifold Gromov--Witten invariants of $\mathcal{C}_{k,m}$. There is a certain similarity between our HQE and the Lax operators of the Extended bi-graded Toda hierarchy, introduced by G. Carlet in \cite{car}. Therefore, it is plausible that our HQE characterize the tau-functions of this hierarchy and we expect that the Extended bi-graded Toda hierarchy governs the Gromov--Witten theory of $\mathcal{C}_{k,m}.$

研究动机与目标

• 建立弗罗贝尼乌斯流形 $M_{k,m}$ 的总下代数和上代数势满足哈尔塔二次方程（HQEs）
• 证明 $M_{k,m}$——即洛朗多项式空间——同构于具有 $\mathbb{Z}_k$ 和 $\mathbb{Z}_m$ 奇异点的 $\mathbb{P}^1$-奇异流形 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调
• 表明 $M_{k,m}$ 的HQEs与扩展双齐次Toda层级相关，暗示该层级控制 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的格罗莫夫-威滕理论

提出的方法

• 作者使用吉文塔尔的形式化方法，在与弗罗贝尼乌斯流形 $M_{k,m}$ 相关的 Fock 空间 $B$ 中定义总下代数和上代数势。
• 他们通过振荡积分和顶点算子技术，推导出这些势的傅里叶系数所满足的无限组哈尔塔二次方程（HQEs）。
• 弗罗贝尼乌斯结构在 $M_{k,m}$ 上通过杜布罗文的半单弗罗贝尼乌斯流形理论构建，度量和乘法通过洛朗多项式上的留数配对定义。
• 奇异流形 $\mathcal{C}_{k,m}$ 通过在 $0$ 和 $\infty$ 处移除圆盘并粘贴 $D_1/\mathbb{Z}_k$ 和 $D_2/\mathbb{Z}_m$ 构造，其量子上同调通过镜像对称和吉文塔尔的重构方法计算。
• 通过匹配弗罗贝尼乌斯流形结构（包括度量、乘法和平坦坐标），建立了 $M_{k,m}$ 与 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调之间的同构。
• 通过HQEs与该层级的Lax算子之间的结构相似性，暗示了与扩展双齐次Toda层级的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 弗罗贝尼乌斯流形 $M_{k,m}$ 的总下代数和上代数势是否满足哈尔塔二次方程（HQEs）？
• RQ2 $M_{k,m}$——即洛朗多项式空间——是否同构于具有 $\mathbb{Z}_k$ 和 $\mathbb{Z}_m$ 奇异点的 $\mathbb{P}^1$-奇异流形 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调？
• RQ3 为 $M_{k,m}$ 推导出的HQEs是否可解释为表征扩展双齐次Toda层级的tau函数？
• RQ4 吉文塔尔的上代数势是否生成了 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的上代数格罗莫夫-威滕不变量，如吉文塔尔的猜想所预测？
• RQ5 $M_{k,m}$ 上的HQEs与扩展双齐次Toda层级的Lax算子之间是否存在结构对应关系？

主要发现

• $M_{k,m}$ 的总下代数和上代数势满足一个无限组哈尔塔二次方程（HQEs），这些方程是势的傅里叶系数之间的二次关系。
• 定义为洛朗多项式 $x^k + t_1x^{k-1} + \cdots + t_{k+m}x^{-m}$ 且满足 $t_{k+m} \neq 0$ 的弗罗贝尼乌斯流形 $M_{k,m}$，同构于具有 $\mathbb{Z}_k$ 和 $\mathbb{Z}_m$ 奇异点的 $\mathbb{P}^1$-奇异流形 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调。
• $M_{k,m}$ 的HQEs在结构上与扩展双齐次Toda层级的Lax算子相似，暗示该层级控制 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的格罗莫夫-威滕理论。
• $M_{k,m}$ 的上代数势被猜想为 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的上代数格罗莫夫-威滕不变量的生成函数，仅需处理技术细节。
• 通过匹配弗罗贝尼乌斯流形结构（包括度量、乘法和平坦坐标），建立了 $M_{k,m}$ 与 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调之间的同构。
• 本研究扩展了已知的弗罗贝尼乌斯流形列表，其势为可积层级的tau函数，将 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的奇异量子上同调加入该列表。