[论文解读] The specification property on a set-valued map and its inverse limit

Brian Raines, Tim Tennant|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文将指定性状質與拓撲熵推廣至緊緻度量空間上的多值映射，並建立其動態影響。證明了指定性狀質意味著拓撲混合與正熵，並顯示若一多值映射具備指定性狀質，則其在逆極限空間上對應的移位映射亦具備指定性狀質，應用於不變測度與滿支撐測度。

ABSTRACT

In this paper we consider dynamical properties of set-valued mappings and their implications on the associated inverse limit space. Specifically, we define the specification property and topological entropy for set-valued functions and prove some elementary results of these properties. We end with a few results regarding invariant measures for set-valued functions and their associated inverse limits.

研究动机与目标

• 將單值映射中的指定性狀質與拓撲熵推廣至多值動態系統。
• 探討多值映射背景下指定性狀質與拓撲混合之間的關係。
• 研究由多值映射誘導的逆極限空間上移位映射的動態行為。
• 分析多值函數不變測度的結構及其支撐性質。
• 建立不變測度具有滿支撐的條件，特別是在週期點稠密時。

提出的方法

• 透過對有限軌道段進行均勻影子追蹤並控制均勻間隔，定義多值映射的指定性狀質。
• 透過計數長度為 n 的部分軌道在 ε-張集下的數量，定義多值映射的拓撲熵。
• 將逆極限空間構造為所有序列 (x₀, x₁, ...) 的集合，其中 xᵢ₊₁ ∈ F(xᵢ)，配備乘積拓撲。
• 定義逆極限空間上的移位映射 σ，令 σ(x₀, x₁, ...) = (x₁, x₂, ...)，此映射連續且模擬 F 的動態行為。
• 使用完全軌道 CO(x) 和 CO(F) 的概念，以描述多值映射的全局動態。
• 證明若 F 具備指定性狀質，則逆極限空間上移位映射 σ 亦滿足指定性狀質。

实验结果

研究问题

• RQ1 多值映射的指定性狀質是否意味著拓撲混合與正的拓撲熵？
• RQ2 影子概念能否被有意義地推廣至多值映射？其與指定性狀質有何關係？
• RQ3 在何種條件下，多值映射會在逆極限空間上誘導出具有指定性狀質的移位映射？
• RQ4 多值映射的不變測度空間結構為何？何時其具有滿支撐？
• RQ5 定義域中週期點的稠密性與存在具有滿支撐的不變測度之間有何關係？

主要发现

• 多值映射 F 的指定性狀質意味著 F 是拓撲混合的，且具有正的拓撲熵。
• 若多值映射 F 具備影子性質且週期點集稠密，則其滿足指定性狀質的較弱形式。
• 若 F 具備指定性狀質，則逆極限空間 lim←F 上的移位映射 σ 亦滿足指定性狀質。
• 具有滿支撐的 F-不變測度集合，在所有 F-不變測度空間中為稠密的 Gδ 集。
• 當週期點集在 X 中稠密時，F 的不變測度中具有滿支撐的集合為稠密的 Gδ 集。
• 若週期軌道稠密，可明確構造一具有滿支撐的不變測度 μ，其為支撐於週期軌道上的狄拉克測度的加權和。