[论文解读] The stable module category of a general ring

Daniel Bravo, James Gillespie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 85

一句话总结

本文通过在R-模的无界链复形上定义Quillen模型结构，利用FP∞-模将Gorenstein投射模与内射模的概念推广，为任意环R构造了两个三角化稳定模范畴。关键贡献是一个通用构造，该构造将投射模与内射模均映射为零，统一了拟Frobenius环与Gorenstein环的经典稳定模范畴。

ABSTRACT

For any ring R we construct two triangulated categories, each admitting a functor from R-modules that sends projective and injective modules to 0. When R is a quasi-Frobenius or Gorenstein ring, these triangulated categories agree with each other and with the usual stable module category. Our stable module categories are homotopy categories of Quillen model structures on the category of R-modules. These model categories involve generalizations of Gorenstein projective and injective modules that we derive by replacing finitely presented modules by modules of type FP-infinity. Along the way, we extend the perfect duality between injective left modules and flat right modules that holds over Noetherian rings to general rings by considering weaker notions of injectivity and flatness.

研究动机与目标

• 将稳定模范畴的构造推广至非拟Frobenius或Gorenstein环的情形。
• 定义一个三角化范畴，其中存在一个通用正合函子，将R-模的投射模与内射模均映射为零。
• 通过用FP∞-模替代有限表现模，将Gorenstein同调代数推广至任意环。
• 在无界链复形范畴上建立模型结构，使得纤维对象或协纤维对象为广义Gorenstein内射或投射模。
• 将稳定导出范畴恢复为同伦范畴，并证明其与Gorenstein情形下现有构造的一致性。

提出的方法

• 引入FP∞-模的概念，即存在由有限生成投射模构成的投射解析的模。
• 将绝对洁净模定义为满足对所有FP∞-模M均有Ext¹(M, I) = 0的模，从而推广了绝对纯模的概念。
• 在R-模的无界链复形范畴上构造两种Quillen模型结构：一种是所有复形均为协纤维对象，纤维对象为绝对洁净模的复形；另一种是所有复形均为纤维对象，协纤维对象为Gorenstein投射模的复形。
• 利用这些模型结构的同伦范畴定义稳定模范畴Stmod(R)，该范畴为三角化范畴，并存在一个通用正合函子γ: R-Mod → Stmod(R)。
• 证明γ将投射模与内射模均映射为零，且Stmod(R)在该性质下具有通用性。
• 建立绝对洁净模与阶跃模之间的对偶对，并利用此关系通过所有投射模P的Hom(C, P)的正合性来刻画AC-余挠复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意环R（而不仅限于拟Frobenius或Gorenstein环）构造一个通用稳定模范畴？
• RQ2 如何通过用FP∞-模替代有限表现模，将Gorenstein同调代数推广至任意环？
• RQ3 在R-模的无界链复形上，何种模型结构可产生三角化同伦范畴，使得投射模与内射模均被映射为零？
• RQ4 在何种条件下，所提出的两个稳定模范畴与经典稳定模范畴重合？
• RQ5 Krause的稳定导出范畴是否可作为这些模型结构之一的同伦范畴被恢复？

主要发现

• 对任意环R，通过R-模的无界链复形上的Quillen模型结构的同伦范畴，构造了两个三角化稳定模范畴。
• 该构造推广了经典稳定模范畴：当R为拟Frobenius环或Gorenstein环时，新范畴与标准Stmod(R)一致。
• 稳定模范畴Stmod(R)存在一个通用正合函子γ: R-Mod → Stmod(R)，该函子将投射模与内射模均映射为零。
• 一种模型结构中的纤维对象为通过FP∞-模上Ext¹消失条件定义的绝对洁净模复形。
• 另一种模型结构中的协纤维对象为通过FP∞-模上的解析条件定义的Gorenstein投射模复形。
• AC-余挠复形（推广了完全余挠复形）被证明等价于牢固余挠复形，且其特征可通过所有投射模P的Hom(C, P)的正合性来刻画。