[论文解读] The star sequence and the general first Zagreb index

Leonid Bedratyuk, Олег Савенко|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Graph theory and applications被引用 13

一句话总结

本文引入了图的星形序列（star sequence）——即同构于星图 $S_k = K_{1,k}$ 的子图计数——并建立了其与频率序列（顶点度分布）的对偶性。通过第二类斯特林数，推导出一般第一Zagreb指标 $Z_p(G)$ 的闭式表达式：$Z_p(G) = 2S_1(G) + \sum_{i=2}^p i! \left\{{p \atop i}\right\} S_i(G)$，并给出了 $Z_p(G)$ 的生成函数与线性递推关系，从而推广了握手引理。

ABSTRACT

For a simple graph, we introduce a notion of the star sequence and prove that the star sequence and the frequently sequences of a graph are inverses of each other from a combinatorial point of view. As a consequence, we express the general first Zagreb index in terms of the star sequence. Also, we calculate the ordinary generating function and find a linear recurrence relation for the sequence of the general first Zagreb indexes.

研究动机与目标

• 定义并形式化图的星形序列为同构于 $S_k = K_{1,k}$ 的子图数量。
• 建立星形序列与频率序列（顶点度分布）之间的组合对偶性。
• 利用第二类斯特林数，将一般第一Zagreb指标 $Z_p(G)$ 表示为星形序列的函数。
• 推导序列 $\{Z_p(G)\}$ 的普通生成函数与线性递推关系。

提出的方法

• 将星形序列 $S_k(G)$ 定义为图 $G$ 中 $K_{1,k}$-子图的数量。
• 使用容斥原理将星形序列与频率序列 $f_i$（度为 $i$ 的顶点数）关联起来。
• 应用恒等式 $\sum_{i=1}^k i^p (-1)^{k-i} \binom{k}{i} = k! \left\{{p \atop k}\right\}$，将 $Z_p(G) = \sum_i i^p f_i$ 表示为 $S_k(G)$ 的形式。
• 利用第二类斯特林数已知的生成函数，推导序列 $\{Z_p(G)\}$ 的普通生成函数 $\mathcal{G}(Z,t) = \sum_p Z_p(G) t^p$。
• 利用生成函数的性质与第一类带符号斯特林数，推导 $Z_p(G)$ 的线性递推关系。
• 利用生成函数的有理形式，建立递推关系 $Z_p(G) + \sum_{i=1}^n \left[{p+1 \atop p+1-i}\right] Z_{p-i}(G) = 0$（对所有 $p \geq n$ 成立）。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般第一Zagreb指标 $Z_p(G)$ 如何用星形序列 $S_k(G)$ 表示？
• RQ2 星形序列与图的频率序列之间存在何种组合关系？
• RQ3 序列 $\{Z_p(G)\}$ 的普通生成函数是什么？
• RQ4 序列 $\{Z_p(G)\}$ 是否满足线性递推关系？
• RQ5 新公式 $Z_p(G)$ 如何推广握手引理？

主要发现

• 一般第一Zagreb指标的表达式为 $Z_p(G) = 2S_1(G) + \sum_{i=2}^p i! \left\{{p \atop i}\right\} S_i(G)$，其中 $\left\{{p \atop i}\right\}$ 为第二类斯特林数。
• 星形序列与频率序列互为组合逆序列：$f_i = \sum_{k=i}^{n-1} (-1)^{k-i} \binom{k}{i} S_k(G)$ 与 $S_k(G) = \sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k} f_i$。
• 序列 $\{Z_p(G)\}$ 的普通生成函数为 $\mathcal{G}(Z,t) = \frac{\sum_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{i=0}^k \left[{n+1 \atop n+1-(k-i)}\right] Z_i(G) \right) t^k}{(1-t)(1-2t)\cdots(1-nt)}$。
• 序列 $\{Z_p(G)\}$ 满足线性递推关系 $Z_p(G) + \sum_{i=1}^n \left[{p+1 \atop p+1-i}\right] Z_{p-i}(G) = 0$（对所有 $p \geq n$ 成立），其中 $\left[{p \atop i}\right]$ 为带符号的第一类斯特林数。
• 该公式推广了握手引理：$Z_1(G) = 2m = 2S_1(G)$，且 $Z_2(G) = 2S_1(G) + 2S_2(G)$。
• 作为星形序列与频率序列对偶性的推论，导出了恒等式 $\sum_{uv \in E(G)} \left( \frac{1}{d_u} + \frac{1}{d_v} \right) = S_1(G) + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i-1} S_i(G)$。