[论文解读] The Stress-Intensity Factor for nonsmooth fractures in antiplane elasticity

Antonin Chambolle, Antoine Lemenant|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Composite Material Mechanics参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文建立了非光滑、闭合且连通裂纹在反平面弹性中的应力强度因子（SIF）的存在性与表征。通过使用邦内特的单调性公式与Γ-收敛，证明了在裂纹上密度为1/2的任意点处，位移场的爆破极限会收敛到经典的裂纹尖端函数√r sin(θ/2)，并具有明确定义的SIF，即使在裂纹无光滑性假设的情况下也成立。

ABSTRACT

Motivated by some questions arising in the study of quasistatic growth in brittle fracture, we investigate the asymptotic behavior of the energy of the solution $u$ of a Neumann problem near a crack in dimension 2. We consider non smooth cracks $K$ that are merely closed and connected. At any point of density 1/2 in $K$, we show that the blow-up limit of $u$ is the usual "cracktip" function $\\sqrt{r}\\sin(\ heta/2)$, with a well-defined coefficient (the "stress intensity factor" or SIF). The method relies on Bonnet's monotonicity formula \\cite{b} together with $\\Gamma$-convergence techniques.

研究动机与目标

• 将经典的应力强度因子（SIF）概念推广至仅要求闭合与连通但无需光滑性的裂纹。
• 通过基于能量的分析，建立非光滑域中裂纹尖端附近位移场的渐近行为。
• 严格将SIF定义为在裂纹上密度为1/2的点附近小邻域内归一化能量通量的极限。
• 在最小正则性假设下，将经典的裂纹尖端场√r sin(θ/2)推广至非光滑裂纹。
• 通过在缺乏C¹,¹或解析正则性的情况下证明SIF的合理性，为脆性断裂的变分模型提供基础。

提出的方法

• 在非光滑区域应用邦内特的单调性公式以控制解在裂纹尖端附近的爆破行为。
• 使用Γ-收敛技术分析当邻域半径趋于零时，归一化能量积分的极限。
• 采用位移场的爆破序列u_r(x) = r^(-1/2) u(r x)以提取裂纹尖端附近的渐近形态。
• 建立爆破序列梯度的强L²收敛性，确保极限形态的唯一性。
• 利用齐次性与球谐分解，证明极限函数必为1/2次齐次函数，并在裂纹上满足诺伊曼边界条件。
• 通过能量积分计算√r sin(θ/2)形态前的精确常数，得到C = √(2C₀/π)，其中C₀为归一化能量的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 应力强度因子（SIF）能否在裂纹非光滑但仅闭合与连通的情况下被严格定义？
• RQ2 在非光滑裂纹上密度为1/2的点处，经典裂纹尖端场√r sin(θ/2)是否作为位移场的爆破极限出现？
• RQ3 在最小正则性假设下（如裂纹尖端处仅具有Hausdorff密度1/2），SIF是否仍为良定义且有限？
• RQ4 能否将裂纹尖端附近位移场的经典渐近展开扩展至C¹,¹或解析裂纹之外？
• RQ5 在一般情况下，归一化能量极限与裂纹尖端函数系数之间的确切关系为何？

主要发现

• 在任意满足密度1/2的点x₀ ∈ K处，归一化能量的极限∫_{B(x₀,r)∖K} (A∇u)·∇u dx / r在r → 0时存在且有限。
• 位移场的爆破极限u_r在H¹_loc中强收敛于函数√(2C₀/π) sin(θ/2)，其中C₀为能量极限。
• 极限函数是半直线补集上Dirichlet能量的唯一极小化子，从而确认了裂纹尖端形态。
• SIF系数显式确定为√(2C₀/π)，该结果通过在半径为R的圆盘上进行能量积分得出。
• 爆破序列的收敛在紧集上是一致的，且极限与序列选择无关，因其唯一性。
• 即使系数矩阵A(x)仅为Hölder连续且一致椭圆，该结果仍成立，无需其为常数。